2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：专题二　3第3讲　平面向量与复数

第3讲　平面向量与复数

平面向量的概念与线性运算
[核心提炼]
1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；
2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
[典型例题]
(1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)
A．a－b　　　　　　　　 B．a－b
C．a＋b D．a＋b
(2)(2019·金华市十校联考)已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足＝(＋＋2)，则为(　　)
A． B．
C．2 D．
(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC中，点D满足＝，当点E在射线AD(不含点A)上移动时，若＝λ＋μ，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．
【解析】　(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
(2)如图，延长CO，交AB中点D，O是△ABC的重心，则＝(＋＋2)＝(2＋2)＝(－＋2)＝，
所以OP＝OC＝×CD＝CD；
所以DP＝DO＋OP＝CD＋CD＝CD，DO＝CD；
所以＝＝＝.
(3)因为点E在射线AD(不含点A)上，设＝k(k>0)，又＝，

所以＝k(＋)＝
k＝＋，
所以，(λ＋1)2＋μ2＝＋k2＝＋>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．
【答案】　(1)D　(2)A　(3)(1，＋∞)

平面向量的线性运算技巧
(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．
(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．　
[对点训练]
1．(2019·瑞安市四校联考)设M是△ABC边BC上的点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A.　　　　 B. C.　　　　 D.1
解析：选C.因为M在BC边上，所以存在实数t∈[0，1]使得＝t.
＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t，
因为N为AM的中点，
所以＝＝＋，
所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝＋＝，故C正确．
2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝.若动点P满足＝(1－λ)＋，(λ∈R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为(　　)
A．5 B．10
C．2 D．4
解析：选A.设＝，
因为＝(1－λ)＋＝(1－λ)＋λ，
所以B，D，P三点共线．
所以P点轨迹为直线BC.
在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cos C＝，
所以sin C＝，
所以S△ABC＝×7×6×＝15，
所以S△BCD＝S△ABC＝5.
3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．
解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2.
答案：0　2

平面向量的数量积
[核心提炼]
1．平面向量的数量积的两种运算形式
(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ(其中θ为向量a，b的夹角)；
(2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.
2．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．＋1
C．2 D．2－
(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝k，|c|＝2－k且a＋b＋c＝0，则b与c夹角的余弦值的取值范围是________．
【解析】　(1)设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知
|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.

(2)设b与c的夹角为θ，由题b＋c＝－a，
所以b2＋c2＋2b·c＝1.
即cos θ＝＝1＋.
因为|a|＝|b＋c|≥|b－c|，所以|2k－2|≤1.
所以≤k≤.
所以－1≤cos θ≤－.
【答案】　(1)A　(2)

(1)平面向量数量积的计算
①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路
(ⅰ)直接利用数量积的定义；
(ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．
②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．
(2)求解向量数量积最值问题的两种思路
①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．　
[对点训练]
1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，若向量c满足|a－b＋c|≤1，则|c|的最大值为(　　)
A．1 B．
C． D．2
解析：选D.由平面向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，
可得|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1·1·cos〈a，b〉＝，
由0≤〈a，b〉≤π，可得〈a，b〉＝，
设a＝(1，0)，b＝，c＝(x，y)，
则|a－b＋c|≤1，即有≤1，
即为＋≤1，
故|a－b＋c|≤1的几何意义是在以为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c|的几何意义是表示向量c的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.
2．如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)

A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2
C．I3 ＜ I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
解析：选C.如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO