2020数学（理）二轮教师用书：第2部分专题2解密高考②　数列问题重在“归”——化归、归纳

 解密高考②　数列问题重在“归”——化归、归纳 ————[思维导图]————————[技法指津]————1.化归的常用策略(1)等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列．(2)由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目的特点，将数列问题化归为函数问题来解决．2．归纳的常用策略对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的情形出发，从中归纳出一般的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明.  母题示例：2019年全国卷Ⅱ，本小题满分12分已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式.本题考查：等差(比)数列的概念、通项公式等知识，考查方程思想、转化化归等能力，数学运算、逻辑推理等核心素养.[审题指导·发掘条件]看到证明{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列，想到等差(比)数列的概念；缺“an＋1＋bn＋1”与“an＋1－bn＋1”，借助题设条件利用方程思想补找该条件，并求{an}和{bn}的通项公式． [构建模板·四步解法]　数列类问题的求解策略第一步 找条件第二步 求通项第三步 定方法第四步 再反思根据已知条件确定数列的项之间的关系根据等差或等比数列的通项公式，求数列的通项公式根据题设条件及数列表达式的结构特征，选择合适的方法，求解相应问题审视转化过程的等价性与合理性 母题突破：2019年潍坊二模，本小题满分12分已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，设bn＝.(1)证明数列{bn}是等差数列；(2)设＝2n＋1，求数列{cn}的前n项和Tn(n∈N*)．[解](1)因为a1＝2，所以b1＝＝1. 1分将(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)两边同时除以(n＋1)(n＋2)得：＝－2，               3分∴－＝2，即bn＋1－bn＝2. 4分∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列. 5分(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. 6分∵ ＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1. 7分设Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1， 8分两式相减得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1.化简得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1.               10分设Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2， 11分∴Tn＝Pn＋Sn＝6＋(2n－3)·2n＋1＋n2. 12分