苏教版 (2019)必修 第一册5.2 函数的表示方法优秀导学案

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5.2 函数的表示方法








观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？





1．函数的表示方法





2．分段函数


(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．


(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．


(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )


(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )


(3)有些函数能用三种方法来表示．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√


2．(一题两空)若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x>0，,x2－1，x<0，))则f(x)的定义域为 ，值域为 ．


{x|x≠0} {y|y>－1} [定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}，


当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>－1，∴值域为{y|y>－1}．]


3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f(x)．


[解] 列表法：


解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．


图象法：








【例1】 求下列函数的解析式．


(1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝ ．


(2)已知f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则f(x)＝ ．


(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝ ．


(4)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，x＞0，,x2＋bx＋c，x≤0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为 ．


(5)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))＝x2＋eq \f(4,x2)，则f(x)＝ ．


[思路点拨] (1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把eq \r(x)＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x－eq \f(2,x)看作一个整体来求解．


(1)－x＋3 (2)x2－1(x≥1) (3)2x－eq \f(1,3)或－2x＋1 (4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，x＞0,x2＋4x＋2，x≤0)) (5)x2＋4 [(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，


f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，


f(2x－1)＝a(2x－1)＋b，


f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝－4，,2b＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝3，))


即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3．


(2)令eq \r(x)＋1＝t(t≥1)，


则eq \r(x)＝t－1，x＝(t－1)2，


∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，


∴f(x)＝x2－1(x≥1)．


(3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，


所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2＝4，,kb＋b＝－1，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝－\f(1,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝1，))


所以f(x)＝2x－eq \f(1,3)或f(x)＝－2x＋1．


(4)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4b＋c＝c，,4－2b＋c＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝2，))


故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，x＞0，,x2＋4x＋2，x≤0.))


(5)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))＝x2＋eq \f(4,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))eq \s\up12(2)＋4，


∴f(x)＝x2＋4．]





求函数解析式的常用方法


1待定系数法：已知函数fx的函数类型，求fx的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可.


2换元法：令t＝gx，注明t的范围，再求出ft的解析式，然后用x代替所有的t即可求出fx，一定要注意t的范围即为fx中x的范围.


3配凑法：已知fgx的解析式，要求fx时，可从fgx的解析式中拼凑出“gx”，即用gx来表示，再将解析式两边的gx用x代替即可.


4代入法：已知y＝fx的解析式求y＝fgx的解析式时，可直接用新自变量gx替换y＝fx中的x.





eq \([跟进训练])


1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝ ．


(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)＝ ．


(1)x＋eq \f(2,x) (2)x2－x＋1(x≠1)


[(1)设f(x)＝k1x＋eq \f(k2,x)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＝k1＋k2＝3，,f2＝2k1＋\f(k2,2)＝3))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＝1，,k2＝2，))∴f(x)＝x＋eq \f(2,x)．


(2)令t＝eq \f(x＋1,x)(t≠1)，则x＝eq \f(1,t－1)，∴f(t)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))eq \s\up12(2)＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))eq \s\up12(2))＋(t－1)＝t2－t＋1，


∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．]


【例2】 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2

试求f(－5)，f(－eq \r(3))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))的值．


[思路点拨] 要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．


[解] 由－5∈(－∞，－2]，－eq \r(3)∈(－2,2)，－eq \f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，


f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2(－eq \r(3))


＝3－2eq \r(3)．


因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2)，


－2<－eq \f(3,2)<2，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))


＝eq \f(9,4)－3＝－eq \f(3,4)．





1．(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．


[解] ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去．


②当－2

即a2＋2a－3＝0．


所以(a－1)(a＋3)＝0，所以a＝1或a＝－3．


因为1∈(－2,2)，－3(－2,2)，


所以a＝1符合题意．


③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．


综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2．


2．(变结论)本例条件不变，若f(m)>m(m≤－2或m≥2)，求实数m的取值范围．


[解] 若f(m)>m，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤－2，,m＋1>m))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥2，,2m－1>m，))


即m≤－2或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥2，,m>1，))


所以m≤－2或m≥2．


所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．





1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．


2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．


3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．


求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．








[探究问题]


1．解二元一次方程组的主导思想是什么？


[提示] 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．


2．解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋B＝4，①,A－B＝6，②))


[提示] 法一(代入消元法)：由②得A＝B＋6，代入①得B＋6＋B＝4，∴B＝－1，代入A＝B＋6，得A＝5，∴A＝5，B＝－1．


法二(加减消元法)：①＋②得2A＝10，∴A＝5，


①－②得2B＝－2，∴B＝－1．


3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋B＝x2，,A－B＝4x，))能求A，B吗？


[提示] 能求A，B．仍可以采用上述两种方法．


两式相加得2A＝x2＋4x，∴A＝eq \f(x2＋4x,2)，


两式相减得2B＝x2－4x，∴B＝eq \f(x2－4x,2)．


【例3】 求解析式．


(1)已知f(x)＋2f(－x)＝eq \f(1,x)，求f(x)；


(2)已知2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)．


[思路点拨] 将f(x)与f(－x)，f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f(x)．


[解] (1)∵f(x)＋2f(－x)＝eq \f(1,x)，①


用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－eq \f(1,x)，②


②×2－①得3f(x)＝－eq \f(2,x)－eq \f(1,x)＝－eq \f(3,x)，∴f(x)＝－eq \f(1,x)．


(2)∵2f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，


用eq \f(1,x)替换x得2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq \f(3,x)，


消去feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))得3f(x)＝6x－eq \f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq \f(1,x)．





方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(fx，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))))，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用eq \f(1,x)或－x替换原式中的x即可．





eq \([跟进训练])


2．已知f(x)满足f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋x，则f(x)的解析式为 ．


f(x)＝－eq \f(2,3x)－eq \f(x,3) [因为f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋x，用eq \f(1,x)替换x得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2f(x)＋eq \f(1,x)，


代入上式得f(x)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2fx＋\f(1,x)))＋x，


解得f(x)＝－eq \f(2,3x)－eq \f(x,3)．]








1．函数三种表示法的优缺点





2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．


3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．





1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )





C [先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．


距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]


2．已知函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，则f(10)＝ ．


20 [令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]


3．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝ ．


3x－2 [设f(x)＝kx＋b(k≠0)，


∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－b＝5，,k＋b＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝3，,b＝－2，))


∴f(x)＝3x－2．]


4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4，0≤x≤2，,2x，x>2.))


(1)求f(2)，f(f(2))的值；


(2)若f(x0)＝8，求x0的值．


[解] (1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，


∴f(2)＝22－4＝0，f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4．


(2)当0≤x0≤2时，由xeq \\al(2,0)－4＝8，得x0＝±2eq \r(3)(舍去)；


当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4．∴x0＝4．学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)


2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)
通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
求函数解析式
分段函数
方程组法求解析式