（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（32）高考大题规范解答系列（二）—三角函数（含解析）

 [练案32]高考大题规范解答系列(二)——三角函数一、选择题1．(2020·南昌市模拟)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(0<ω<，|φ|<)的部分图象如图所示，A(0，)，C(2,0)，并且AB∥x轴． (1)求ω和φ的值；(2)求cos ∠ACB的值．[解析]　(1)由已知得f(0)＝2sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin (ωx＋)．因为f(2)＝0，即2sin (2ω＋)＝0，所以2ω＋＝kπ，k∈Z，　解得ω＝π－，k∈Z，而0<ω<，所以ω＝.(2)由(1)知，f(x)＝2sin (x＋)，令f(x)＝，得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k＋1，k∈Z，由题图可知，B(1，)．所以＝(－2，)，＝(－1，)，所以||＝，||＝2，所以cos ∠ACB＝＝＝.2．(2020·内蒙古包头调考)已知函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且图象上有一个最低点M(，－3)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间．[解析]　(1)由函数f(x)的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，可知函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，所以ω＝＝2.又函数f(x)图象上有一个最低点M(，－3)，|φ|<，所以A＝3,2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)．由|φ|<，得φ＝，所以f(x)＝3sin (2x＋)．(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．又x∈[0，π]，所以函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]．3．(2020·合肥市一检)已知函数f(x)＝cos 2x＋sin (2x－)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈(0，)，f(α)＝，求cos 2α.[解析]　(1)∵f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，∴函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)由f(α)＝可得sin (2α＋)＝.∵α∈(0，)，∴2α＋∈(，)．又0<sin (2α＋)＝<，∴2α＋∈(，π)，∴cos (2α＋)＝－，∴cos 2α＝cos [(2α＋)－]＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin ＝.4．(2020·齐鲁名校高三联考)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为锐角，且满足2sin(A＋C)＋cos 2B＝4sin Bcos2 .(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积S＝，b＝，求△ABC的周长l.[解析]　(1)由已知得，2sin(π－B)＋cos 2B＝4sin Bcos2 ，即2sin B＋cos 2B＝4sin Bcos2 ，所以2sin B(1－2cos2 )＋cos 2B＝0，即－2sin Bcos B＋cos 2B＝0，即sin 2B＝cos 2B，所以tan 2B＝.因为0<B<，所以0<2B<π，所以2B＝，解得B＝.(2)由(1)知，B＝，△ABC的面积S＝acsin B＝acsin ＝ac＝，整理得ac＝3，①由b＝及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得()2＝a2＋c2－2accos ＝a2＋c2－ac，整理得a2＋c2－ac＝3，②将①代入②得，(a＋c)2＝12＋6，即a＋c＝3＋，故△ABC的周长l＝b＋a＋c＝＋3＋＝3＋2.5．(2020·湖北黄冈质量检测)已知△ABC的内角A，B，C满足＝.(1)求角A；(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．[解析]　(1)设角A，B，C对应边a，b，c，由正弦定理及＝，得＝，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝，又0<A<π，所以A＝.(2)根据正弦定理，并结合题意可得＝2，所以a＝2sin A＝2sin ＝，所以3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c时等号成立，所以S＝bcsin A≤×3×＝(当且仅当b＝c时取等号)．故△ABC的面积S的最大值为.6．(2020·济南模考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bsin C＝acos C＋ccos A，B＝，c＝.(1)求角C；(2)若点E满足＝2，求BE的长．[解析]　(1)方法一：由题设及正弦定理得2sin Bsin C＝sin Acos C＋sin Ccos A，又sin Acos C＋sin Ccos A＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，所以2sin Bsin C＝sin B.由于sin B＝≠0，所以sin C＝.又0<C<，所以C＝.方法二：由题设及余弦定理可得2bsin C＝a×＋c×，化简得2bsin C＝b.因为b>0，所以sin C＝.又0<C<，所以C＝.方法三：由2bsin C＝acos C＋ccos A，结合b＝acos C＋ccos A，可得2bsin C＝b.因为b>0，所以sin C＝.又0<C<，所以C＝.(2)方法一：由正弦定理易知＝＝2，解得b＝3.又＝2，所以AE＝AC＝b，即AE＝2.在△ABC中，因为∠ABC＝，C＝，所以A＝，所以在△ABE中，A＝，AB＝，AE＝2，由余弦定理得BE＝＝＝1，所以BE＝1.方法二：在△ABC中，因为∠ABC＝，C＝，所以A＝，a＝c＝.由余弦定理得b＝＝3.因为＝2，所以EC＝AC＝1.在△BCE中，C＝，BC＝，CE＝1，由余弦定理得BE＝＝＝1，所以BE＝1.方法三：在△ABC中，因为∠ABC＝，C＝，所以A＝，a＝c＝.因为＝2，所以＝＋.则||2＝(＋2)2＝(||2＋4·＋4||2)＝(3－4×××＋4×3)＝1，所以BE＝1.7．(2020·安徽省五校二检)在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且2csin B＝3atan A.(1)求的值；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．[解析]　(1)由2csin B＝3atan A，得2csin Bcos A＝3asin A，结合正弦定理得2bccos A＝3a2，故2bc×＝3a2，b2＋c2＝4a2，得＝4.(2)由(1)及a＝2知，b2＋c2＝16，故cos A＝＝.又b2＋c2≥2bc，故8≥bc，当且仅当b＝c时取等号，∴cos A≥＝.由cos A＝，得bc＝，且A∈(0，)，∴S△ABC＝bcsin A＝3tan A.∵1＋tan2A＝1＋＝＝，∴tan A＝≤＝，∴S△ABC＝3tan A≤，即△ABC面积的最大值为.8．(2020·洛阳市第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.(1)求CD；(2)求∠ABC.[解析]　(1)在△BCD中，S＝BD·BC·sin ∠CBD＝，∵BC＝2，BD＝3＋，∴sin ∠CBD＝.∵∠ABC为锐角，∴∠CBD＝30°.在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos ∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9，∴CD＝3.(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin ∠BDC＝.∵BC<BD，∴∠BDC为锐角，∴cos ∠BDC＝.在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝.①在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝.②∵AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠BAC.由①②得＝，解得sin ∠ABC＝.∵∠ABC为锐角，∴∠ABC＝45°.