2020届二轮复习(理)第2部分专题6第1讲　函数的图象与性质、函数与方程学案


第1讲　函数的图象与性质、函数与方程

[做小题——激活思维]
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(0,2]　　　　 B．(0,2)
C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2]
C　[由得0＜x≤2且x≠1，故选C.]
2．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　)
A. B.
C. D.
C　[因为f＝e－2＜0，f(1)＝e－1＞0，所以零点在区间上，故选C.]
3．[一题多解](2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0且a≠1)的图象可能是(　　)

A　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　D
D　[法一：若0＜a＜1，则函数y＝是增函数，y＝loga是减函数且其图象过点，结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图象过点结合选项可知，没有符合的图象．故选D.
法二：分别取a＝和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.]
4．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)
A．y＝－x3 B．y＝－x2＋1
C．y＝2x D．y＝log2|x|
B　[因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A，C，又y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.]
5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(2 020)＝________.
0　[f(2 020)＝f(505×4)＝f(0)．
又f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，故f(2 020)＝0.]
6．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．
　[由已知，得a＝log2 m，b＝log5 m，
则＋＝＋＝logm 2＋logm 5＝logm 10＝2.解得m＝.]
[扣要点——查缺补漏]
1．函数的定义域，如T1.
(1)分母不为0；
(2)对数的真数大于0；
(3)被开方数有意义．
2．零点所在的区间的判定方式
f(x)在[a，b]上是连续函数且f(a)f(b)＜0.必要时借助导数研究其性质，如T2.
3.指数、对数函数
(1)图象，如T3.

(2)指对互化与对数运算，如T6.
①ax＝N⇔x＝logaN，
②logab·logba＝1(a，b＞0且均不为1)，
③logambn＝logab，
④logaM＋logaN＝loga(MN)(M＞0，N＞0)，
⑤logaM－logaN＝loga(M＞0，N＞0)．
4．奇偶性、单调性，如T4.
(1)定义法：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；
(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.
故f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．
5．函数的周期性，如T5.
(1)若f(x＋a)＝f(x)，则周期T＝a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则周期T＝2a，其中a≠0.

　函数的表示、图象及应用(5年9考)

[高考解读]　对函数的表示常以分段函数为载体，考查分类讨论及函数方程的思想，对函数图象的识别常将基本初等函数与导数融合在一起，考查学生灵活应用知识，分析函数图象及性质的能力.
1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝x　　　　 B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
D　[函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．
函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
函数y＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
函数y＝的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

A　　　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　　　D
D　[因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除选项A.
令x＝π，则f(x)＝＝＞0，排除选项B，C.故选D.]
[点评]　知式选图：已知函数解析式选图象，一般选用函数的两三个性质.
常用性质：
1°定→定点、定义域.
2°奇→奇偶性.
3°极→极值点个数.
4°零→零点个数.
5°渐→渐近线.
6°趋→函数值变化趋势.
7°单→单调性.
8°符→函数值符号.
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)