2020届二轮复习等差数列学案（全国通用）

等差数列【考纲要求】1．理解等差数列概念.
2．能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
3．了解等差数列与一次函数的关系. 4．灵活应用等差数列的定义、公式和性质解决数列问题，认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系.5．掌握常见的求等差数列通项的一般方法；6．用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题【知识网络】【考点梳理】等差数列382420 知识要点】考点一、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.要点诠释：(1)｛｝为等差数列(n∈N※)－=d (n2, n∈N※)（ d为常数）(2)等差中项：若三个数a，x，b成等差，则x称为数a，b的等差中项。 任意实数a，b的等差中项存在且唯一，为(3)证数列{}是等差数列的方法：① (n≥2) （ d为常数）；② 为和的等差中项。考点二、通项公式(归纳法和迭加法) 要点诠释：①｛｝为等差数列为n的一次函数或为常数=kn+b  (n)②式中、、n、d只要有三个就可以利用方程(组)求出第四个。③公式特征：等差数列{}中=kn+b是关于n的一次函数(或常数函数)，一次项系数k为公差d。④几何意义：点(n，)共线；=kn+b中，当k=d>0时，{}为递增数列；当k=d<0时，{}为递减数列；当k=d=0时，{}为常数列。考点三、通项公式的性质：（1）等差中项：、、成等差数列，则；（2）通项公式的推广：（3）若，则；特别，若，则（4）等差数列中，若.【典型例题】类型一：等差数列的概念、公式、项的性质例1. （1）－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.【解析】（1）由题意可知：,，∴此数列的通项公式为：,令,解得，所以－20不是这个数列的项.（2）根据题意可得：,.  ∴此数列通项公式为：（,）.令,解得：,    ∴100是这个数列的第15项.【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式. 2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项【解析】由，，∴.【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和【解析】∵， ∴， ∵，∴中有14个元素符合条件，又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即，，， ∴.例2(2018 陕西高考)中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为　 ．【思路点拨】利用中位数性质建立关系式.【答案】5【解析】设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得：a=5【总结升华】在解决等差数列、等比数列的有关问题时，要熟悉其基本概念，基本公式及性质。举一反三：【变式】（2018 北京高考）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0    B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【答案】C【解析】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．故选C例3．（2017  西城区模拟）已知等差数列{an}的公差d＞0，a3=－3，a2a4=5，则an=__________。【答案】2n-9【解析】法一：令数列的首项为，公差为d，则    （d＞0）即 （d＞0）      解之有：，   ∴.法二： ,    由已知得又d>0,得d=2 所以.【总结升华】依条件恰当的选择入手公式，性质，从而简洁地解决问题，减少运算量。举一反三：【变式】若数列为等差数列，, ,且公差 求； 【解析】∵为等差数列  ∴又∵  ∴、是方程的根∴或（舍去）令数列的首项为，公差为d，则    即       解之有：，   ∴.类型二：等差数列的判断与证明等差数列382420 典型例题三】例4．设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列．【思路点拨】判断一个数列是否为等差数列，需要严格按照等差数列的概念或性质进行判断。本题中已知条件是关于数列前n项和的，所以应该从前n项和的思路着手考虑。证明：由得，所以整理得，又得相减并整理得: 所以数列是个等差数列【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有:    (1)定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N*){an}是等差数列;    (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}是等差数列;    (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(n∈N*){an}是等差数列;    (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A、B是常数)(n∈N*){an}是等差数列.举一反三：【变式】已知数列{an}，an∈N*，Sn =，求证：{an}是等差数列；【答案】an+1 = Sn+1–Sn,∴8an+1 =,∴,∴，∵an∈N*，∴，∴，即，∴数列{an}是等差数列.例5．设{an}是等差数列,证明以bn=(n∈N*)为通项公式的数列{bn}是等差数列.【思路点拨】等差数列的概念是以递推关系的形式给出的，这也是判定一个数列是否为等差数列的首要考虑。证法一:设等差数列{an}的公差是d(常数),当n≥2时，=-= = = = (常数)∴{bn}是等差数列.证法二:等差数列{an}的前n项和, ∴bn= ∴{bn}是等差数列.