2020届二轮复习数列（二）学案（全国通用）


年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
等差数列与等比数列
教学目的

教学内容
第二节 等差数列
（一）高考目标
考纲解读
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
考向预测
1．以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查“方程思想”．
2．以选择题、填空题的形式考查等差数列的性质．
3．数列与函数交汇是解答题综合考查的热点．

（二）课前自主预习
知识梳理
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{ }的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .
(3)若{}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 .
(4)若{ }，{bn}是等差数列，则{p＋qbn}是
(5)若{}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为 的等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{}的公差为d，其前n项和Sn 或 .
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
数列{}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的 ，即Sn＝
7．在等差数列{}中，a1>0，d0，又a2·a3＝45，a1＋a4＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列bn＝，数列{bn}的前n项和记为Sn，求Sn.
[解析]　(1)由题意得即.
解得或(与d>0矛盾，舍去)．
∴d＝a3－a2＝4.
∴an＝a2＋(n－2)d＝5＋4(n－2)＝4n－3.
(2)由(1)得an＋1＝4n＋1.
∴bn＝＝(－)．
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝.
2.命题方向：等差数列的判断与证明
[例2]　(2009·湖北卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n为正整数)．令bn＝2nan，
求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．
[分析]　Sn－Sn－1＝an→2nan＝2n－1an－1＋1→bn→an.
[解析]　在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，
可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝.
当n≥2时，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，
∴2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1.
∵bn＝2nan，∴bn＝bn－1＋1.即当n≥2时，bn－bn－1＝1.
又b1＝2a1＝1，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．
于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan，∴an＝.
[点评]　1.由Sn－Sn－1＝an来转化为an与an－1的递推关系时，要注意是n≥2成立，即要验证a1或b1是否成立．
2．等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．
3．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．
(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B，则{an}是等差数列．
(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．
提醒：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．
跟踪练习2
已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0　(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求an的表达式．
[分析]　(1)由an与Sn的关系an＝Sn－Sn－1消去an，构造－证明其为常数．
(2)由(1)可求，进而求出Sn，再求an.
[解析]　(1)∵an＝Sn－Sn－1　(n≥2)，
又an＝－2Sn·Sn－1，
∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.
∴－＝2　(n≥2)．
由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴Sn＝.
当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，
又∵a1＝，
∴an＝.
3.命题方向：等差数列的性质
[例3]　等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(　　)
A．130　 　 B．170　 　 C．210　 　 D．260
[解析]　解法1：将Sm＝30，S2m＝100代入Sn＝na1＋d得

解之得d＝，a1＝＋.
∴S3m＝3ma1＋d＝210.
解法2：根据等差数列性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，从而有2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)．
∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.
解法3：∵Sn＝na1＋d，
∴＝a1＋d，∴点(n，)是直线y＝＋a1上的一串点，由三点(m，)、(2m，)、(3m，)共线易知S3m＝3(S2m－Sm)＝210.
解法4：令m＝1得S1＝30，S2＝100，从而a1＝30，a1＋a2＝100，得到a1＝30，a2＝70，∴a3＝70＋(70－30)＝110，∴S3＝a1＋a2＋a3＝210.
[答案]　C
[点评]　1.解法1利用方程思想；解法2设而不求、整体处理，利用等差数列依次每k项之和仍然成等差数列的性质；解法3是数形结合思想的运用；解法4利用选择题型的逻辑结构，采用赋值法．
2．等差数列的简单性质：
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)S2n－1＝(2n－1)an.
(2)若n为偶数，则S偶－S奇＝d.
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
(3)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．
跟踪练习3
(1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项之和Sn等于(　 　)
A．66　　　　　　B．99 C．144 D．297
[答案]　B
[解析]　∵a1＋a4＋a7＝39，
a3＋a6＋a9＝27
∴(a1＋a9)＋(a4＋a6)＋(a3＋a7)＝3(a1＋a9)＝66
∴a1＋a9＝22，
∴S9＝＝99.
(2)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案]　B
[解析]　由S偶－S奇＝d＝15，得d＝3.
4.命题方向：等差数列前n项和的最值问题
[例4]　已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．
[分析]　①由Sn与an的关系，可写出Sn＋1与an＋1之间的关系，两式相减，即可得出an＋1与an间的关系．
②{bn}的前n项和最小，估计{bn}的前几项为负值，后面为正值，所有负值之和最小．
[解析]　方法一：∵2an＋1＝an＋an＋2，
∴{an}是等差数列．
设{an}的首项为a1，公差为d，
由a3＝10，S6＝72，
得∴
∴an＝4n－2.
则bn＝an－30＝2n－31.
解得≤n≤.
∵n∈N*，∴n＝15，
∵{bn}前15项为负值．∴S15最小．
可知b1＝－29，d＝2，
∴S15＝＝＝－225.
方法二：同方法一求出bn＝2n－31.
∵Sn＝＝n2－30n＝(n－15)2－225，
∴当n＝15时，Sn有最小值，且最小值为－225.
[点评]　若{an}是等差数列，求前n项和的最值时，
①若a1>0，da2，则an＝(　　)
A．(－2)n－1　　　　　　B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n
[答案]　A
[解析]　本题是不等式与数列综合的题目，考查了等比数列的性质及不等式的内容，
a5>a2⇒－8a2>a2⇒9a20，
∴a5＝8.故选D.
5．若数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，….是首项为1，公比为2的等比数列，则an等于________．
[答案]　2n－1
[解析]　an－an－1＝a1qn－1＝2n－1
即
相加：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2
∴an＝2n－2＋a1＝2n－1.
6．(2018·安徽怀宁一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
[答案]　3
[解析]　本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式．
若q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1，显然S6≠4S3，故q≠1，
∴＝4·，∴1＋q3＝4，∴q3＝3.
∴a4＝a1q3＝q3＝3.
[点评]　解有关等比数列的前n项和问题时，一定要注意对公比q进行分类讨论，否则会出现漏解现象．
7．(2009·浙江)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
[解析]　(1)由Sn＝kn2＋n得，
a1＝S1＝k＋1，
an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．
a1＝k＋1也满足上式，
所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.
(2)由am，a2m，a4m成等比数列得，
(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
将上式化简得，
2km(k－1)＝0，
因为m∈N*，所以m≠0，
故k＝0，或k＝1.

（四）典型例题
1.命题方向：等比数列中基本量的计算
[例1]　(2009·福建文)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[分析]　本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
[解析]　(1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n；
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有
解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和Sn＝ ＝6n2－22n.
[点评]　(1)等比数列的通项公式an＝a1qn－1以前n项和公式Sn＝＝(q≠1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求另二，体现了方程思想的应用．
(2)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．

跟踪练习1
等比数列{an}的各项均为正数，其前k项中，数值最大的一项是54，若该数列的前k项之和为Sk，且Sk＝80，
S2k＝6560，
求：(1)前100项之和S100；(2)通项公式an.
[分析]　利用等比数列的通项公式及前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1和q即可．
[解析]　设公比为q，∵S2k－Sk＝6 480>Sk，
∴q>1.则最大项是ak＝a1qk－1＝54(∵ak>0)．①
又Sk＝＝80，②
S2k＝＝6 560，③
由①②③，解得a1＝2，q＝3，则
(1)前100项之和S100＝＝3100－1.
2.命题方向：等比数列的判定与证明
[例2]　设数列{an}的首项a1＝a≠，且an＋1＝记bn＝a2n－1－，n＝1,2,3….
(1)求a2，a3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
[分析]　本题是高考题目中常见的探索性试题，它与直接证明一个数列是等比数列比较而言难度更大，这是因为要解决这一问题需要先有一个探索、研究、归纳的过程，本题中的第一问在某种意义上讲，就为解答第二问奠定了基础．
[解析]　(1)a2＝a1＋＝a＋，a3＝a2＝a＋.
(2)∵a4＝a3＋＝a＋，
∴a5＝a4＝a＋，
∴b1＝a1－＝a－，b2＝a3－＝(a－)，
b3＝a5－＝(a－)，
猜想：{bn}的公比为的等比数列．
证明如下：
∵bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－＝(a2n－1＋)－＝(a2n－1－)＝bn，(n∈N*)
∴{bn}是首项为a－，公比为的等比数列．
[点评]　等比数列的判定方法有：
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且an＋12＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
提醒：(1)前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．
跟踪练习2
数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*)．
(1)求a3、a4、a5、a6的值；
(2)求证：{bn}是等比数列．
[解析]　(1)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，
∴anan＋1＝a1a2·3n－1＝2·3n，
∴a3＝＝6，a4＝＝9，a5＝＝18，a6＝＝27.
(2)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列，
∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1，
∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…与a2，a4，a6，…，a2n，…都是公比为3的等比数列．
∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1，
∴bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1.
∴＝＝3，故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列.
3.命题方向：等比数列的性质
[例3]　已知等比数列{an}中，an>0，a1、a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为(　　)
A．32　　　　　　B．64 C．256 D．±64
[解析]　由等比数列性质及韦达定理知(a50)2＝a1·a99＝16，∴a50＝4， a20·a50·a80＝a503＝64.
∴选B.
[答案]　B
跟踪练习3：
在正项等比数列{an}中，若a2·a4·a6·a8·a10＝32，则log2a7－log2a8＝(　　)
A. B. C. D.
[答案]D
[解析]　∵a2·a4·a6·a8·a10＝32，∴a6＝2，
∴log2a7－log2a8＝log2＝log2＝log2＝log2＝.
4.命题方向：等差、等比数列的综合应用
[例4]　(2018·四川文)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1　(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n 项和Sn.
[解析]　本题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．
(1)设{an}的公差为d，由已知得
解得a1＝3，d＝－1.
故an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)的解答可得：bn＝n·qn－1，于是
Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.
若q≠1，将上式两边同乘以q有qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn.
两式相减得到
(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1＝n·qn－＝
于是，Sn＝.
若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
所以，Sn＝
跟踪练习4
(文)(2018·北京文)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
[解析]　本题考查了等差数列的通项公式和等比数列前n项和公式．
(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵a3＝－6，a6＝0.
∴，解得a1＝－10，d＝2.
(2)设等比数列{bn}的公比为q，
∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8.
∴q＝＝3.
∴{bn}的前n项和Sn＝＝4(1－3n)．
(理)(2009·安徽文)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式．
(2)设cn＝an2·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1