2019届二轮复习（理）等差数列与等比数列学案（全国通用）
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【母题原题1】【2018新课标1，理4】设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【 】2018年全国普通高等学校招生统一考试理 数学（新课标I卷）
【答案】B
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
【母题原题2】【2017新课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发| |X|X|K]
大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的
答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项
是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项
和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
【答案】A
【考点】等差数列、等比数列的求和.
【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
【母题原题3】【2016新课标1，理15】设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
【考点】等比数列及其应用 ]
【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性
质的应用,尽量避免小题大做.[来
【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.
【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.
【方法总结】
1.求数列前n项和的常用方法
1）分组求和法
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.
提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.
2）裂项相消法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. | ] 学 ] . ]
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴
3）错位相减法
若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.
如： ①
②
①—②
时，，时，
4）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. ]
相加
2.数列与函数综合
（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．
3.数列与不等式综合
与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩． 学 ]
4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；
5.以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．
1．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算，当然应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列是等比数列，则（为常数）仍是等比数列．
2．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】设是公差不为0的等差数列,满足,则的前项和( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据题意变形可得：，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．
详解: ：a42+a52=a62+a72，化简可得：，
即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0．
∴a6+a4+a7+a5=0，
∵a5+a6=a4+a7，
∴a5+a6=0，
∴S10==5（a5+a6）=0， 学 .
故选：C．
点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：
若等差数列的前项和为，且，则
①若，则；
②、、、 成等差数列．
3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】数列中，已知，且，(且)，则此数列为( )
A. 等差数列 B. 等比数列
C. 从第二项起为等差数列 D. 从第二项起为等比数列
【答案】D
点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
4．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】等比数列的前项和，前项和，前项和分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.
详解：由等比数列的性质可知，
等比数列的第一个项和，第二个项和，
第三个项和仍然构成等比数列，
则有构成等比数列，
，即，
，故选D.
点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.
5．【2018年天津市南开中学高三模拟考试】已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.
6．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】已知数列是公差为3的等差数列，是公差为5的等差数列，若，则数列为
A. 公差为15的等差数列 B. 公差为8的等差数列
C. 公比为125的等比数列 D. 公比为243的等比数列
【答案】A
【解析】分析：先根据等差数列定义求公差，即得结果.
详解：因为数列是公差为3的等差数列，所以,
所以,
因为是公差为5的等差数列，
因此
选A.
点睛：判断或证明为等差数列的方法：
(1)用定义证明：为常数）；
(2)用等差中项证明：；
(3)通项法： 为的一次函数；
(4)前项和法：
7．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（八）】公差与首项相等的等差数列的前项和为，且.记，其中表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：（1）本题主要考查等差数列的通项和前n项和，考查学生接受新定义及利用新定义解题的能力.(2)由于新数列的通项不方便求出，所以利用列举法比较恰当.
8．【北京西城八中2017届高三上学期期中考试】已知数列的前项和满足，其中．
（Ⅰ）求证：数列为等比数列．
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】(1)见解析（2）
【解析】分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义证结论，（2）根据分组求和法（一个等比数列与一个等差数列和）求数列的前项和
详解：解：（Ⅰ），①
∴当时，，解得；
点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型 （如 ）
9．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】若数列的前项和为，首项且（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）若（），令，求数列的前项和.
【答案】(1) 或.(2) .
【解析】分析：（1），即或，或；(2) 由，可得，，利用裂项相消法求和即可.
详解： （1）当时，，则
当时，，
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
10．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】设等差数列的前项和为，且成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1) an=2n-1 (2)
【解析】分析：设等差数列的首项为,公差为, 由成等差数列，可知 , 由得：， 由此解得，，即可得到数列的通项公式；
令，利用错位相减法可求数列的前项和.
详解：
设等差数列的首项为,公差为, 由成等差数列，可知 , 由得：，解得: ]
因此:
(2)令.则 ，
∴①
②
①—②,得
所以
点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
11．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知等比数列的前项和为，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
12．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】已知数列中，，其前项和为，且满足．
（11）求证：数列是等差数列；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
点睛：本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查.
