2019届二轮复习 数列的综合应用 学案（全国通用）


1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题

热点题型一 公式法求和
例1、等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16。
(1)求数列{an}的通项公式。
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn。

【提分秘籍】
几类可以使用公式求和的数列
(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解。
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解。
【举一反三】
已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和。
(1)求an及Sn。
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0。求{bn}的通项公式及其前n项和Tn。

热点题型二 分组法求和
例2、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N 。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和。
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝n。
故数列{an}的通项公式为an＝n。
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn。记数列{bn}的前2n项和为T2n，
则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)。
记A＝21＋22＋…22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则
A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n ＝n。
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2。
【提分秘籍】
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和。
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和。
提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论。
【举一反三】
在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3。
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn。

(2)由题意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n－1(2n－1)＋(－1)n(2n＋1) ＋3＋32＋…＋3n。
当n为偶数时，Sn＝n＋－＝＋n－。
当n为奇数时，Sn＝(n－1)－(2n＋1)＋－＝－n－。
所以Sn＝。
热点题型三 裂项相消法求和
例3．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an。
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn。

【提分秘籍】
常见的裂项方法(其中n为正整数)
数列
裂项方法

( 为非零常数)
＝

＝



＝(－)

a>0，a≠1
loga＝loga(n＋1)－logan
【举一反三】
在等比数列{an}(n∈N )中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0。
(1)求{an}的通项an。
(2)若cn＝，求{cn}的前n项和Sn。
【解析】(1)因为b1＋b3＋b5＝6，所以log2a1＋log2a3＋log2a5＝6，所以log2(a1a3a5)＝6，所以log2(aq6)＝6，
所以log2(a1q2)＝2，即b3＝2，a1q2＝4。
因为a1>1，所以b1＝log2a1>0，
又因为b1b3b5＝0，所以b5＝0，即log2(a1q4)＝0，
所以a1q4＝1。
又因为a1q2＝4，q>0，所以
所以an＝16·n－1＝25－n。

热点题型四 错位相减法求和
例4、已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N )满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0。
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n＋1，求数列{an}的前n项和Sn。
【解析】(1)因为bn≠0，
所以由anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，
得－＋2＝0，即－＝2，
所以cn＋1－cn＝2，所以{cn}是以c1＝＝1为首项，2为公差的等差数列，
所以cn＝1＋(n－1)×2＝2n－1。

【提分秘籍】利用错位相减法的解题策略
一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解。若{bn}的公比为参数(字母)，则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和。
【举一反三】
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an。
(1)证明：数列{an＋2}是等比数列。并求数列{an}的通项公式an。
(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，设Tn是数列的前n项和。求证：Tn