2019届二轮复习第3讲　数列不等式的证明问题(选用)学案（全国通用）

第3讲　数列不等式的证明问题(选用)
高考定位　1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.


真 题 感 悟
(2017·浙江卷)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*).
证明：当n∈N*时，
(1)0＜xn＋1＜xn；
(2)2xn＋1－xn≤；
(3)≤xn≤.
证明　(1)用数学归纳法证明：xn＞0.
当n＝1时，x1＝1＞0.
假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，xk＞0，
那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则0＜xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，故xk＋1＞0，
因此xn＞0(n∈N*).
所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1，
因此0＜xn＋1＜xn(x∈N*).
(2)由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得，
xnxn＋1－4xn＋1＋2xn＝x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1).
记函数f(x)＝x2－2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0).
f′(x)＝＋ln＞0(x＞0)，
函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，
因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，
故2xn＋1－xn≤(n∈N*).
(3)因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，
所以xn≥xn－1≥xn－2≥…≥x1＝.
故xn≥.
由≥2xn＋1－xn得－≥2＞0，
所以－≥2≥…≥2n－1＝2n－2，
故xn≤.
综上，≤xn≤(n∈N*).
考 点 整 合
1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2.反证法
一般地，由证明pq转向证明：綈qr…t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.
3.放缩法
放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证A0，
所以an＋1＝≤1，当且仅当an＝1时，an＋1＝1，
下面用数学归纳法证明：
①因为a>0且a≠1，所以a21，即有a2