2019届二轮复习规范答题示例9　导数与不等式的恒成立问题学案（全国通用）

规范答题示例9　导数与不等式的恒成立问题典例9　(12分)(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.审题路线图　(1)―→―→―→.(2)―→―→.规 范 解 答·分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝(x>0).2分若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增.4分若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分(2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－，8分所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.9分设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1(x>0).当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.11分所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.12分第一步求导数：一般先确定函数的定义域，再求f′(x).第二步定区间：根据f′(x)的符号确定函数的单调性.第三步寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题.第四步写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立问题.第五步再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等. 评分细则　第(1)问得分点说明：①正确求出f′(x)得2分；②求出a≥0时，函数的单调性得2分；③求出a<0时，函数的单调性得2分．第(2)问得分点说明：①正确求出f(x)的最大值得2分；②转化为关于a的不等式得1分；③构造函数并正确求出函数的最大值得2分；④正确写出结论得1分．跟踪演练9　(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋aln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：<a－2.(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②若a>2，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.当x∈∪时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增．(2)证明　由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设0<x1<x2，则x2>1.由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以<a－2等价于－x2＋2ln x2<0.设函数g(x)＝－x＋2ln x，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0.所以－x2＋2ln x2<0，即<a－2.