2019届二轮复习极坐标系、参数方程、线性规划学案（全国通用）

第十讲 极坐标系/参数方程/线性规划

一、  知识方法拓展：

1、曲线的极坐标方程

在极坐标系中，曲线可以用含有这两个变数的方程来表示，这种方程叫做这条曲线的极坐标方程。

求曲线的极坐标方程的方法与步骤：

1°建立适当的极坐标系，并设动点的坐标为；

2°写出适合条件的点的集合；

3°；

4°化简所得方程并给出参数的取值范围；

5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。

2、三种圆锥曲线统一的极坐标方程：

图10-1

过点作准线的垂线，垂足为，以焦点为极点，的反向延长线为极轴，建立极坐标系。设是曲线上任意一点，连结，作⊥，⊥，垂足分别为．那么曲线就是集合.

设焦点到准线的距离，

得                             

即                             

这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。其中当时，方程表示椭圆，定点是它的左焦点，定直线是它的左准线。时，方程表示开口向右的抛物线。时，方程只表示双曲线右支，定点是它的右焦点，定直线是它的右准线。若允许，方程就表示整个双曲线。

3、几种常见曲线的极坐标方程

(1)四叶玫瑰线：

当时，其图象如10-2所示

图10-2

(2)心脏线：

当时，其图象如10-3所示

图10-3

(3)螺线：是指一些围着某些定点或轴旋转且不断收缩或扩展的曲线。比较常见的是阿基米德螺线（亦称等速螺线），其方程为：

当（）时，其图象如10-4所示：

图10-4

(4)双纽线：其标准方程为：

当时，其图象如10-5所示：

图10-5

4、摆线：若一个半径为的圆在轴上滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条摆线。其参数方程为：，当时，其图象如10-6所示：

图10-6

5、规划问题

自主招生中的规划问题不仅包括了基本的线性规划求最值问题，也包括了直线与二次曲线，以及二次曲线对平面直角坐标系的分割问题。

二、   热身练习：

例1.              （2007年复旦千分考63）已知，则使成立的充分非必要条件为………………………………（）

A.       B.       C.       D.

答案：B.

分析：集合表示的是抛物线上及其外部的点集，集合表示的是圆及其内部的封闭区域，要使成立只需圆在抛物线外部相切或相离即可。

例2.              （2009年复旦千分考135）平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则的可能取值情况是……………………………………………………………………………（）

A.只有唯一值   B.可取两个不同值   C.可取三个不同值   D.可取无穷多个值

答案：C.

分析：三条直线的位置关系有：无交点、交于一点、交于两点、交于三点，分别对应将平面分为四部分、六部分、六部分、七部分。

三、   真题精讲：

例3.              （2010年复旦千分考127）参数方程所表示的函数是……………………………………………………………………（）

A.图象关于原点对称           B.图像关于直线对称

C.周期为的周期函数 D.周期为的周期函数

分析：此题是关于用参数方程表示的函数性质讨论，可以考虑的方法有：（1）特殊值法；（2）图像法，很明显该参数方程表示的是摆线，根据图10-6可知其周期为，答案为C。

例4.              （2006年复旦千分考128）对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程表示的不同双曲线条数为_______.

A．6             B．9             C．12              D．15

分析：此题考查的是圆锥曲线的统一极坐标方程，将方程与标准方程进行对照可发现：，当曲线为双曲线时，即即可。当时，但的实际取值只有两个：,；同理，时，的实际取值有两个；时有一个；时有一个；的实际取值有6个，答案为A。

例5.              （2010年复旦千分考128）将同时满足不等式的点组成集合D称为可行域，将函数称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点使目标函数达到在可行域上的最小值。如果这个规划问题有无穷多个解，则的取值为_____。

A.   B.   C.   D.

分析：本题实质为线性规划问题，目标函数的最值则可以看做是点与点所确定的直线的斜率的最值，此题为基础题型，答案为B。

例6.        (2009年清华大学自主招生3)有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论。

解析：不能。如果直接从多条抛物线相交入手，问题将会很复杂，为了将问题简化，我们把二次曲线的覆盖转化为一次曲线即直线的覆盖。我们知道，对于抛物线，如果要完全覆盖一条直线，需要两条抛物线并且两条抛物线的对称轴必须与此直线平行，平面内有无数条互不平行的直线，如果抛物线可以达到覆盖整个坐标平面的效果，所需的抛物线数量必定是直线的两倍。而题设中抛物线的数量是有限的，我们可以找一条和这些抛物线的对称轴都不平行的直线，则每条抛物线（线和线的内部）至多能够覆盖这条直线上的一段线段，就不可能覆盖整条直线，更不可能覆盖整个坐标平面。

四、   重点总结：纵观五年内高校自主招生考试，本章内容涉及题量并不大，从难度上来看除了个别拓展知识以外，绝大多数内容都是中等难度题。所以，针对参数方程、极坐标、规划问题的应对策略要做到以下几点：1、熟练掌握直线、二次曲线的参数方程及极坐标方程，并能够以此为工具，熟练求解弦长、函数极值、参数范围等基础题型；2、要熟悉几种常见曲线的参数方程及极坐标方程，熟悉曲线的参数的意义、图形特点；3、规划问题要注意直线与曲线的综合规划问题，并能够结合图形，通过几何意义来解决一些综合值域问题。

五、   强化训练：

A组：

1、如果直线与圆交于两点，且关于直线对称，动点在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则点与点连线的斜率取值范围是……………………………………（      ）

A.    B.      C.       D.

答案：D

B组：1、（2007清华大学自主招生4）（1）求三直线，，所围成三角形上的整点个数；（2）求方程组的整数解个数。

答案：（1）610个；（2）590个。

2、已知，命题M：，命题N：，则M是N的（）

A 充要条件  B 充分非必要条件  C必要非充分条件  D 既不充分也不必要条件

答案：B

3、求的值域。

答案：