2019届二轮复习提能一　巧做小题　妙拿高分学案（全国通用）


提能一　巧做小题　妙拿高分
考前必会八种小题技法

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授课提示：对应学生用书第83页

原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．
2.基本策略：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演运算、谨防疏漏．
题型特点：1.高、中、低档题，且多数按由易到难的顺序排列.2.注重基本知识、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法灵活多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.

技法一　定义法
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定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．
　(2018·平顶山调研)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1(m＞n＞0)有共同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则 PF1 · PF2 ＝(　　)
A．m2－a2 B.－
C.(m－a) D．m－a
解析：不妨设点P是第一象限内两曲线的交点，F1、F2分别为左、右焦点，由椭圆的定义可知， PF1 ＋ PF2 ＝2，由双曲线的定义可知 PF1 － PF2 ＝2，两式联立得 PF1 ＝＋， PF2 ＝－，所以 PF1 · PF2 ＝m－a.
答案：D
[反思领悟 　利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题时，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如本例中根据双曲线的定义和椭圆的定义建立方程组后就可求出 PF1 · PF2 的值．
[练法——应用体验
1．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m,4)在角α＋的终边上，则m＝(　　)
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
解析：由题意得，tan α＝，tan＝＝，∴＝，∴m＝－6或1.
答案：A
2．(2018·长沙二模)已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)
A. B．4
C. D．5
解析：由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.
答案：D

技法二　数形结合法
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数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
　(2018·洛阳模拟)已知函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)(x∈R)，且当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则方程 cos πx －f(x)＝0在[－1,3 上的所有根之和为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：方程 cos πx －f(x)＝0在[－1,3 上的所有根之和即y＝ cos πx 与y＝f(x)在[－1,3 上的图象交点的横坐标之和．由f(1－x)＝f(1＋x)得f(x)的图象关于直线x＝1对称，由f(1－x)＝f(x－1)得f(x)的图象关于y轴对称，由f(1＋x)＝f(x－1)得f(x)的一个周期为2，而当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝ cos πx 在[－1,3 上的大致图象，如图所示，

易知两图象在[－1,3 上共有11个交点，又y＝f(x)，y＝ cos πx 的图象都关于直线x＝1对称，故这11个交点也关于直线x＝1对称．故所有根之和为11.故选D.
答案：D
[反思领悟 　数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如本例中巧妙借助图象确定对称性求解．
[练法——应用体验
1．(2018·沈阳模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0 时，f(x)＝()x－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2 ＝f[(x＋2)－2 ＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数，作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.

答案：C
2．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120˚.如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)

A．3 B．4
C．2 D．8
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B(cos 120˚，sin 120˚)，
即B.
设∠AOC＝α，
则＝(cos α，sin α)．
∵＝x＋y＝(x,0)＋
＝(cos α，sin α)，
∴∴
∴x＋y＝sin α＋cos α＝2sin(α＋30˚)．
∵0˚≤α≤120˚，∴30˚≤α＋30˚≤150˚.
∴当α＝60˚时，x＋y有最大值2.
答案：C

技法三　特例法
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特例法，包括特例验证法、特例排除法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排除干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．
　(2016·高考全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,1 B.
C. D.
解析：法一：(特殊值验证法)取a＝－1，则f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－