2019届二轮复习立体几何学案（全国通用）


【考情概览】
年份
题号
考点
难度层次
考查内容，方式，模型等
素养
18
3
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
8
比较角的大小
简单
线线角、线面角、面面角的定义
直观想象
19
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
17
3
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
9
二面角
一般
线面平行与垂直的判定定理、数量积公式
数计算
直观想象
19
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
16
3
空间点线面的位置关系
简单
线线平行的判定定理
数计算
直观想象
10
三视图
简单
几何体的表面积
数计算
直观想象
13
空间几何体的体积
较难
利用导数研究函数的最值
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题]
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
15
2
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
8
立体几何的动态问题
一般
线面夹角、余弦定理
数计算
直观想象
13
异面直线的夹角
一般
余弦定理
数计算
直观想象
17
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
14
3
三视图
简单
几何体的表面积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
13
10
空间点线面的位置关系
简单
面面平行的判定定理
数计算
直观想象
12
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
12
10
空间点线面的位置关系
简单
线线垂直的判定定理
数计算
直观想象
11
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
11

3
三视图
简单
利用三视图还原几何体的直观图
数计算
直观想象
4
空间点线面的位置关系
简单
面面垂直的判定定理
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
09
5
空间点线面的位置关系
一般
线面夹角
数计算
直观想象
12
三视图
简单
几何体的体积
数计算
直观想象
20
立体几何的综合问题
较难
空间点线面的位置关系、空间向量的运算、线面夹角的运算、余弦定理等
数计算
直观想象
【应试策略】
1.如图所示，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.

【答案】PQ∥RS


【应试策略】
证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．
2.如图所示，在棱长为1的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空间直角坐标系O­xy . ]

(1)求证A1F⊥C1E；
(2)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.
【答案】（1）A1F⊥C1E；（2）＝＋.

【应试策略】
1. 证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．
2.要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．
3.证明线面垂直，可利用判定定理．如本题解法．
4.用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直．
3.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为(　　)
A. 　　　　　　　　 B.
C. D.
【答案】 B

【应试策略】
1.求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定．
2. 利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
【真题展示】
一、选择题
1.【2018年，浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解答】该几何体的立体图形为四棱柱，.
2.【2018年，浙江卷8】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
【答案】D


3.【2017年，浙江卷3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是

（第3题图）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】试题分析：根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为，选A．
【考点】 三视图
【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．
4.【2014年.浙江卷.理3】某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是
A. 90 B. 129 C. 132 D. 138

【答案】D
【解析】有三视图可知，此几何体如下图，故几何体的表面积为，故选D．

【考点】三视图,几何体的表面积.
5.【2012年.浙江卷.理10】已知矩形ABCD，AB＝1，．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，(　　)
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【答案】B

6.【2011年.浙江卷.理3】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

【答案】 D
【解析】A，B与正视图不符，C与俯视图不符，故选D
7.【2011年.浙江卷.理4】下列命题中错误的是
（A）如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面
（B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
（C）如果平面，平面，，那么
（D）如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面
【答案】 D
【解析】两个平面垂直，两个平面上的所有直线都不是垂直了，比如α平面垂直β平面，垂线为AB，直线CD属于α，与AB交与E点，角度为60°，不垂直平面，故选D
8. 【2009年.浙江卷.理5】在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C

9.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.

【答案】C.
【解析】试题分析：由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，∴体积
，故选C.
【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积计算.
10.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【答案】C
【解析】试题分析：由题意知，．故选C．
【考点】空间点、线、面的位置关系．
【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．
11.【2013年.浙江卷.理10】在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则(　　)．
A．平面α与平面β垂直
B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C．平面α与平面β平行
D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
【答案】A


12.【2015高考浙江，理8】如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则（ ）
A. B. C. D.

【答案】B.


【考点定位】立体几何中的动态问题
13.【2017年，浙江卷9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，
BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，
则

（第9题图）
A．γ