2019届二轮复习“107”满分限时练（九）作业（全国通用）
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(限时：45分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在复平面内，复数6＋5i，2＋4i(i为虚数单位)对应的点分别为A、C.若C为线段AB的中点，则点B对应的复数是( )
A．－2＋3i B．4＋i
C．－4＋i D．2－3i
解析 ∵两个复数对应的点分别为A(6，5)、C(2，4)，C为线段AB的中点，∴B(－2，3)，即其对应的复数是－2＋3i.故选A.
答案 A
2．如图，设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|1≤x≤8}，B＝
{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )
A．3 B．4
C．7 D．8
解析 依题意，A∩B＝{1，2}，该集合的真子集个数是22－1＝3.故选A.
答案 A
3．已知实数x、y满足不等式组若z＝x－y，则z的最大值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析 作出不等式组
所对应的可行域(如图所示)，变形目标函数为y＝x－z，平移直线y＝x－z可知，当直线经过点(3，0)时，z取最大值，代值计算可得z＝x－y的最大值为3.故选A.
答案 A
4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A. B. C. D.
解析 由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，又|F1F2|＝2c＝2，∴cos ∠F1PF2＝＝.故选B.
答案 B
5．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20 C．15 D．10
解析 因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.
答案 C
6．若离散型随机变量X的分布列为(如图)
X | 0 | 1 |
P |
则X的数学期望E(X)＝( )
A．2 B．2或 C. D．1
解析 由分布列的性质，＋＝1，∴a＝1.故E(X)＝×0＋×1＝.
答案 C
7．点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是( )
A．[0，2] B．[0，3]
C．[0，4] D．[－2，2]
解析 如图所示，设正三棱柱的内切球球心为O，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2，由正三棱柱底边长为2，高为2，可得该棱柱的内切球半径为OM＝ON＝1，外接球半径为OA＝OA1＝，对三棱柱上任一点P到球心O的距离的范围为[1，]，∴·＝2－2＝2－1∈[0，4]．故选C.
答案 C
8．已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，△ABC的面积等于，则b的取值范围为( )
A．[2，) B．[，)
C．[2，6) D．[4，6)
解析 ∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，即B＝60°.
∵S＝acsin B＝acsin 60°＝ac＝，∴ac＝4.
法一 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac，又△ABC为锐角三角形，∴a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，∵b2＝a2＋c2－ac，∴b2＋c2＜(a2＋c2－ac)＋(a2＋b2)，整理得2a＞c，且b2＋a2＜(a2＋c2－ac)＋(b2＋c2)，整理得2c＞a，∴＜a＜2c，＜a2＜2ac，又ac＝4，∴2＜a2＜8，b2＝a2＋c2－ac＝a2＋－4，2＜a2＜8，∴令a2＝t∈(2，8)，则b2＝f(t)＝t＋－4，2＜t＜8，∵函数f(t)在(2，4)上单调递减，在(4，8)上单调递增，
∴f(t)∈[4，6)，即4≤b2＜6，∴2≤b＜.故选A.
法二 由正弦定理＝＝，得ac＝·
sin Asin C4＝b2sin Asin(120°－A)，
即b2＝＝
＝＝＝，∵30°＜A＜90°，∴30°＜2A－30°＜150°，1＜sin(2A－30°)＋≤，∴≤b2＜，即4≤b2＜6，∴2≤b＜.故选A.
答案 A
9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
解析 ∵圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，∴圆C的圆心为(4，0)，半径为1，由题意设直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2，∵|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离≤2，解得－≤k≤0，即k的最小值是－.故选A.
答案 A
10．已知定义在R上的函数f(x)满足条件：
①对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；
②对任意的x1、x2∈[0，2]且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)；
③函数f(x＋2)的图象关于y轴对称．
则下列结论正确的是( )
A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)
B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)
C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)
D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)
解析 由函数f(x＋2)的图象关于y轴对称，得f(2＋x)＝f(2－x)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2－0.5)＝f(1.5)，由题意知，f(x)在[0，2]上是增函数，∴f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．
答案 D
二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．把答案填在题中的横线上)
11．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为________．
解析 法一 ∵y＝1－＝，∴y′＝＝，∴y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
法二 由题意得y＝1－＝1－2(x＋2)－1，
∴y′＝2(x＋2)－2，∴y′|x＝－1＝2，
所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案 y＝2x＋1
12．袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白．现从中有放回的随机摸球2次，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率为________．
解析 每次摸到红球、黑球和白球的概率分别为、和，则所求概率为1－＝.
答案
13．在等比数列{an}中，若a5＋a6＋a7＋a8＝，a6a7＝，则＋＋＋＝________．
解析 由等比数列的性质知a5a8＝a6a7，∴＋＋＋＝＋＝＝×＝.
答案
14．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________；几何体的体积是________．
解析 由三视图知该几何体为两个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的圆柱的组合体，所以几何体的表面积为4π×12＋2π×1×2＝8π，体积为π×13＋π×12×2＝.
答案 8π
15．若x＝是函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的一条对称轴，则函数f(x)的最小正周期是________；函数f(x)的最大值是________．
解析 因为f(x)＝sin 2x＋acos 2x＝sin(2x＋φ)，所以f(x)的最小正周期T＝＝π；因为x＝是函数f(x)的一条对称轴，所以2×＋φ＝kπ＋，即φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝，所以a＝tan φ＝，所以函数f(x)的最大值为＝.
答案 π
16．已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________．
解析 设y＝1－x，则x－y＝x－(1－x)＝2x－1，0<x<1，所以x－y∈(－1，1)；＋＝＋＝＋＋1≥3，当且仅当＝，即x＝y＝时取得等号．
答案 (－1，1) 3
17．如图，等腰△OAB中，∠OAB＝∠OBA＝30°，E，F分别是直线OA，OB上的动点，＝λ，＝μ，||＝2.若·＝9，则μ＝________；若λ＋2μ＝2，则·的最小值是________．
解析 以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由|OA|＝2，∠OAB＝∠OBA＝30°得A(－，0)，B(，0)，O(0，1)，＝(2，0)，由＝μ得F(μ，1－μ)，所以＝(μ＋，1－μ)，由·＝2(μ＋)＝9得μ＝，由＝λ得E(－λ，1－λ)，＝(－λ－，1－λ)，由λ＋2μ＝2得＝(－3＋2μ，2μ－1)，所以·＝4μ2－10，当μ＝0时，·取得最小值－10.
答案 －10
