2020年四川省雅安市中考数学试卷 解析版

2020年四川省雅安市中考数学试卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．（3分）实数2020的相反数是（　　）
A．2020 B． C．﹣2020 D．﹣
2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
4．（3分）下列式子运算正确的是（　　）
A．2x+3x＝5x2 B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2•x3＝x5 D．x4+x＝x4
5．（3分）下列四个选项中不是命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
6．（3分）已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（3分）分式＝0，则x的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
8．（3分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：
投中次数
5
7
8
9
10
人数
2
3
3
1
1
则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（　　）
A．3.9，7 B．6.4，7.5 C．7.4，8 D．7.4，7.5
9．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（　　）

A．8 B．12 C．6 D．12
10．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k
11．（3分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（　　）

A．62° B．31° C．28° D．56°
12．（3分）已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
13．（3分）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝　 　．

14．（3分）如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为　 　．
15．（3分）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为　 　．
16．（3分）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝　 　．
17．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
18．（12分）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；
（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．
19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．
（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；
（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；
（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．

20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）
21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．

22．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；
（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．

23．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．

24．（13分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．


2020年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．
1．【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．
故选：C．
2．【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是A选项．
故选：A．
3．【解答】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：

所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，
故选：B．
4．【解答】解：A、2x+3x＝5x，故此选项错误；
B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此选项错误；
C、x2•x3＝x5，正确；
D、x4+x，无法合并，故此选项错误．
故选：C．
5．【解答】解：由题意可知，A、C、D都是命题，B不是命题．
故选：B．
6．【解答】解：∵+|b﹣2a|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，
解得：a＝2，b＝4，
故a+2b＝10．
故选：D．
7．【解答】解：∵分式＝0，
∴x2﹣1＝0且x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
8．【解答】解：这10人投中次数的平均数为＝7.4，
中位数为＝7.5，
故选：D．
9．【解答】解：法一、在Rt△ACB中，
∵sinB＝＝＝0.5，
∴AB＝12．
∴BC＝
＝
＝6．
故选：C．
法二、在Rt△ACB中，
∵sinB＝0.5，
∴∠B＝30°．
∵tanB＝＝＝，
∴BC＝6．
故选：C．
10．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
11．【解答】解：连接OC，如图，
∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
而∠POC＝∠A+∠OCA，
∴∠A＝×62°＝31°．
故选：B．

12．【解答】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，
当点C在EF的中点左侧时，
设AC交DE于点H，

则CE＝t，HE＝ETtanACB＝t×＝t，
则S＝S△CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，图象为开口向上的二次函数；
当点C在EF的中点右侧时，
同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝（﹣t2+2at），图象为开口向下的二次函数；
故选：A．
二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
13．【解答】解：
∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝130°，
故答案为：130°．
14．【解答】解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，
那么温度降低2摄氏度可表示为：﹣2℃．
故答案为：﹣2℃．
15．【解答】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，
∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，
故答案为：．
16．【解答】解：设x2+y2＝z，则原方程转化为z2﹣5z﹣6＝0，
（z﹣6）（z+1）＝0，
解得z1＝6，z2＝﹣1，
∵x2+y2不小于0，
∴x2+y2＝6，
故答案为6．
17．【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
18．【解答】解：（1）原式＝1+1×
＝1+
＝；

（2）原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
∵x≠±1，
∴取x＝0，
则原式＝﹣1．
19．【解答】解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%，
∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20（人），
则成绩在100～110分的学生人数m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；
（2）这名学生成绩为优秀的概率为＝；
（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×＝120（人）．
20．【解答】解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，
依题意，得：，
解得：44＜x＜45，
又∵x为正整数，
∴x＝45，3x+86＝221．
答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树．
21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG＝90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG＝∠DCG＝45°，
∵∠G＝90°，
∴∠GCF＝∠CFG＝45°，
∴FG＝CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；

（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，
∴BE＝8，
∴FG＝CG，
∴EG＝CE+CG＝2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝8，
∴S△ECF＝CE•FG＝×2×8＝8；

（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝10﹣x，
∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，
当x＝5时，S△ECF最大＝．
22．【解答】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，
∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，
∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝10，
∴点C坐标是（﹣2，10），
∵B（0，6），A（3，0），
∴，解得，
∴一次函数为y＝﹣2x+6．
∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），
∴m＝﹣20，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
（2）由解得或，
∴E的坐标为（5，﹣4）．
（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．

23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形

（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DE＝1+3＝4，
∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴BN＝BC＝，
∴S△ABC＝×＝，
∴四边形ABCD的面积＝+＝，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．

24．【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c
则有，
解得
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0）．

（2）如图1中连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大，
∴此时△DAC的面积最大
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴S△ACD＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），
∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．

（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），
当OB为对角线时，点N″的横坐标为，
x＝时，y＝+3﹣2＝，
∴N″（，）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（，）．