2021高考数学大一轮复习考点规范练34基本不等式及其应用理新人教A版

考点规范练34　基本不等式及其应用　考点规范练B册第21页　 基础巩固1.下列不等式一定成立的是(　　)A.lg>lg x(x>0) B.sin x+2(x≠kπ,k∈Z)C.x2+1≥2|x|(x∈R) D>1(x∈R)答案:C解析:因为x>0,所以x2+2·x=x,所以lglgx(x>0),故选项A不正确;当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,=1,故选项D不正确.2.若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是(　　)A.24 B.28 C.25 D.26答案:C解析:∵正数x,y满足=1,∴3x+4y=(3x+4y)=13+13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.∴3x+4y的最小值是25.故选C.3.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是(　　)A.3 B.4 C.5 D.6答案:B解析:由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,故m+n=2(a+b)≥4=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则(　　)A.a<v< B.v=C<v< D.v=答案:A解析:设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为,从而v=∵0<a<b,=a,,即,∴a<v<5.已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为(　　)A.8 B.9 C.16 D.18答案:B解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以(a+b)=5+5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B.6.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则的最大值为(　　)A.2 B C.1 D答案:C解析:由ax=by=3,又a>1,b>1,所以ab=3,所以lg(ab)≤lg3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.7.(2019河北涞水波峰中学高三模拟)已知x>0,y>0,且=1,若x+y≥m2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　. 答案:[-3,2]解析:x+y=(x+y)=5+5+2=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最小值为9,所以m2+m+3≤9,m2+m-6≤0,解得-3≤m≤2,即实数m的取值范围是[-3,2].8.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是　　　　　. 答案:解析:∵x>1,∴logx9+log27x=2,当且仅当x=时等号成立.∴logx9+log27x的最小值为9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转　　　　　年时,年平均利润最大,最大值是　　　　　万元. 答案:5　8解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,所以18-2=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.已知正数a,b满足2a2+b2=3,则a的最大值为　　　　　. 答案:解析:a(2a2+b2+1)=(3+1)=,当且仅当a=,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.故a的最大值为11.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　　. 答案:解析:因为2a>0,>0,所以2a+=2a+2-3b≥2=2,当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.所以2a+2,即2a+的最小值为能力提升12.若不等式2x2-axy+y2≥0对于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)A.a≤2 B.a≥2 C.a D.a答案:A解析:因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2-a+1≥0.令t=,则不等式变为2t2-at+1≥0.由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t,即2t2-at+1≥0在t时恒成立.由2t2-at+1≥0可得a,即a≤2t+又2t+2=2,当且仅当2t=,即t=时等号成立,所以2t+取得最小值2,所以有a≤2,故选A.13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案:D解析:令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,∴2x+f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.14.已知x>0,a为大于2x的常数.(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=-x的最小值.解:(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=2x(a-2x),当且仅当x=时取等号,故函数y=x(a-2x)的最大值为(2)y=-x=2,当且仅当x=时取等号.故y=-x的最小值为高考预测15.若a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 　　　　　　　　. 答案:(-∞,1]∪[9,+∞)解析:∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2,∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.因此ab的取值范围是(-∞,1]∪[9,+∞).