【数学】北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测试题

北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测试题本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无试效。考结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1) 展开式中各项系数之和为   （2）已知函数y＝f（x）在处的导数为1，则（3）若变量x，y之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点（A) (2，6)(B) (3，8)(C) (4，9)（D）（5，10）（4）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（5）已知随机变量X服从二项分布，即X～B（n，p），且E（X）＝2，D（X）＝1．6，则二项分布的参数n，p的值为（6）设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（7）某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则（8）若从1，2，3，…， 9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（A）36种（B）40种（C）44种（D） 48种(9)设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(A)f(x)有极大值f(－2)（B） f（x）有极小值f（－2）(C)f(x)有极大值f(1)(D)f(x)有极小值f(1)（10）某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容器的底部为圆柱形，高为1，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。（11）在的展开式中，的系数为________（用数字作答）（12）给出下列三个结论：①若，则②若，则；③若，则．其中正确结论的序号是________（13）盒子中有4个白球和3个红球，现从盒子中依次不放回地抽取2个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是________（14）某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有________种． （用数字作答）（15）已知函数，若f（m）＝g（n）成立，则n－m的最小值为________三、解答题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16） （本小题8分）已知函数(Ⅰ)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间．      (17) （本小题8分）为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了100人，统计是否爱好冰上运动，得到如下的列表：参考附表：参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d(I) 补全2x2 联表；（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为“爱好冰上运动与性别有关"？请说明理由．       (18)(本小题8分)2020年5月1日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对200种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．（Ⅰ）从社区调查的200种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率；（Ⅱ）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记X为其中辨识度高的垃圾种数，求X的分布列和数学期望．   （19） （本小题8分）已知函数．(Ⅰ)求f(x)的极值；（Ⅱ）若函数在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围．      (20)(本小题8分)设集合，若X是的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若 X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集．（Ⅰ）当n＝3时，写出的所有奇子集；（Ⅱ）求证：当n≥3时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；（Ⅲ）当n≥3时，求的所有奇子集的容量之和．
参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A        （2）B         （3）B          （4）D       （5）D（6）C        （7）C         （8）B          （9）A       （10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）                   （12）①③                    （13）    （14）                    （15）注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得4分，不选或错选得0分，其他得2分。三、解答题（共5小题，共40分）（16）（共8分）解：由题意可知函数的定义域为．              （Ⅰ）因为，所以，                          ………1分．                                    ………2分因为，                                  ………3分所以曲线在点处的切线方程为．………4分（Ⅱ） 的定义域为．                             ………5分因为， 由，得，．                        ………6分因为函数的定义域为，当变化时，，的变化情况如下表： 单调递减极小值单调递增                                                              ………7分所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为．             ………8分（17）（共8分）解：（Ⅰ） 爱好不爱好共计男生女生共计 共需要填6个空，对2个空                 ……1分对4个空                ………2分全对                    ………4分（Ⅱ）由题可知，，经过计算，，………7分参照附表，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“爱好冰上运动与性别有关”．                ………8分（18）（共8分）解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共种，辨识度高的垃圾种数是：．………1分所求概率为．            ………3分 （Ⅱ）的可能取值为．            ………4分依题意可知，．，，，．                        ………6分所以的分布列为 ………7分．                       ………………8分 （19）（共8分）解：由题意可知函数的定义域为．（Ⅰ）因为，所以． ………1分由，得，．               ………2分当变化时，，的变化情况如下表： 单调递增 单调递减单调递增       ………3分因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为．  ………4分（全对给1分）（Ⅱ）因为，所以．所以为一个零点．所以“函数在定义域内有三个零点”可以转化为“方程有两个非零实根”．                    ………5分令，则，所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．当时，有最小值．           ………6分若方程有两个非零实根，则，即．又，，恒成立，不存在零点，………7分所以．综上，．所以当时，函数在定义域内有三个零点．………8分（20）（共8分）（Ⅰ）解：当时，．的所有奇子集为．   ………3分（少写或写错扣1分）（Ⅱ）证明：首先证明的奇子集与偶子集个数相等．设奇数，对于的每个奇子集，当时，取且．当时，取，则为的偶子集．反之，亦然．所以，的奇子集与偶子集是一一对应的．所以，的奇子集与偶子集个数相等．对于，，含的的子集共有个，        …4分其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数，在奇子集的和与偶子集的和中，所占的个数是一样的．所以的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等． …6分（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现次，故奇子集的容量和为．            ………8分 ①