北京市昌平区2019-2020学年高一下学期期末质量检测数学试题

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一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9. 10. ,（第一空3分） 11. 1 12. 13. 14. 13
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题满分13分）
.已知向量，．
(I) 若 ,共线，求的值；
(II)若，求的值；
(III)当时，求与夹角的余弦值.
15.解：(I)因为，共线，
所以 …………………2分
则 . …………………4分
(II)因为,……………….6分
所以 ………………………….7分
则 . …………………8分
(III) 当时， =12，，……………11分
. …………………13分
16.（本小题满分13分）
.如图，在三棱锥中， ， ，分别是 的中点，且平面
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：平面.
(Ⅰ) 证明：因为 分别是的中点，
所以 …………………2分
又因为 平面， …………………4分
平面，
所以 平面.…………………6分
(Ⅱ) 证明：因为 平面平面，
所以 . …………………8分
又因为
所以 . …………………………10分
又因为 ， ……………………………………12分
所以 平面.……………………13分
17.（本小题满分13分）
.已知函数.
（I）求的最小正周期；
（II）求在区间上的最大值和最小值；
（III）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
（I）由，
-------------------3分
得的最小正周期为. -------------------4分
（II）因为 ，
所以 …………………………5分
所以 .
从而 .………………………………6分
所以 当，即时，的最大值为2；………………………7分
当，即时，的最小值为. ------------------8分

（III）由，得，而函数在上单调递增….10分
，在上单调递减，，所以若函数………. 12分
在上有两个不同的零点，则………13分.
18.（本小题满分13分）
在中，角，，的对边分别是，,．
（Ⅰ）求边的值；
（Ⅱ） 若，求的面积．
解：因为 可得……………4分
因为 所以……………6分
即 所以 ……………………8分
因为所以………………………….10分
所以面积……………13分
19.（本小题满分14分）
已知,.
（ = 1 \* ROMAN I）求的值；
（ = 2 \* ROMAN II）求的值；
（ = 3 \* ROMAN III）若且，求的值.
．解：（ = 1 \* ROMAN I）因为，故，，所以. …………4分
（ = 2 \* ROMAN II）=. ………8分
（ = 3 \* ROMAN III）因为，，所以 . ………9分
又因为，所以 . ………11分
===.…14分
20.（本小题满分14分）
20.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，⊥平面，，，
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）在上是否存在一点，使平面，若存在，确定的位置，并证明，若不存在，说明理由;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
证明：（Ⅰ）在上去一点，使，连接，因为，
所以，
…………………….2分
所以
所以为平行四边形…………….3分
即………………………..4分
又平面
所以直线平面…………….5分
（Ⅱ）存在，为中点时.
证明：因为是中点，底面是菱形，
，所以
因为，所以，即…………………………7分
又⊥平面,所以………………………9分
又所以直线平面………………11分
（Ⅲ）直线，且由（Ⅱ）可知，DE为点A到平面PDC的距离，
，，………………………13分
。……………….14分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B.
B．
A．
A.
C.
D．