2020年江苏省无锡市中考数学试卷 含解析

2020年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）
1．（3分）﹣7的倒数是（　　）
A．7 B． C．﹣ D．﹣7
2．（3分）函数y＝2+中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≥ C．x≤ D．x≠
3．（3分）已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
4．（3分）若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
5．（3分）正十边形的每一个外角的度数为（　　）
A．36° B．30° C．144° D．150°
6．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形
7．（3分）下列选项错误的是（　　）
A．cos60°＝ B．a2•a3＝a5
C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
8．（3分）反比例函数y＝与一次函数y＝的图形有一个交点B（，m），则k的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：
①CP与QD可能相等；
②△AQD与△BCP可能相似；
③四边形PCDQ面积的最大值为；
④四边形PCDQ周长的最小值为3+．
其中，正确结论的序号为（　　）

A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．（2分）因式分解：ab2﹣2ab+a＝　 　．
12．（2分）2019年我市地区生产总值逼近12000亿元，用科学记数法表示12000是　 　．
13．（2分）已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝　 　cm2．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　 　°．

15．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　 　．
16．（2分）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是　 　尺．
17．（2分）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为　 　．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：
（1）（﹣2）2+|﹣5|﹣；
（2）．
20．（8分）解方程：
（1）x2+x﹣1＝0；
（2）．
21．（8分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．

22．（8分）现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是　 　；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．（6分）小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
（1）表格中a＝　 　；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？

24．（8分）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为　 　．

25．（8分）如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A、B，DC是⊙O的切线，点C是切点，已知∠D＝30°，DC＝．
（1）求证：△BOC∽△BCD；
（2）求△BCD的周长．

26．（10分）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．

27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S．
（1）若DE＝，求S的值；
（2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式．

28．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y＝x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．


2020年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卷上相应的答案涂黑．）
1．【解答】解：﹣7的倒数是﹣．
故选：C．
2．【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得x≥．
故选：B．
3．【解答】解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5＝24；
把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，
则中位数是25；
故选：A．
4．【解答】解：∵x+y＝2，z﹣y＝﹣3，
∴（x+y）+（z﹣y）＝2+（﹣3），
整理得：x+y+z﹣y＝2﹣3，即x+z＝﹣1，
则x+z的值为﹣1．
故选：C．
5．【解答】解：正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：360°÷10＝36°，
故选：A．
6．【解答】解：A、圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、菱形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
7．【解答】解：A．cos60°＝，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本选项符合题意．
故选：D．
8．【解答】解：∵一次函数y＝的图象过点B（，m），
∴m＝×+＝，
∴点B（，），
∵反比例函数y＝过点B，
∴k＝×＝，
故选：C．
9．【解答】解：如图，延长ED交AC于点M，过点M作MN⊥AE于点N，

设MN＝m，
∵tan∠AED＝，
∴＝，
∴NE＝2m，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝，
∴∠CAB＝30°，
由翻折可知：
∠EAC＝30°，
∴AM＝2MN＝2m，
∴AN＝MN＝3m，
∵AE＝AB＝3，
∴5m＝3，
∴m＝，
∴AN＝，MN＝，AM＝，
∵AC＝2，
∴CM＝AC﹣AM＝，
∵MN＝，NE＝2m＝，
∴EM＝＝，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝30°，
由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴CD是∠ECM的角平分线，
∴＝＝，
∴＝，
解得ED＝．
故选：B．
10．【解答】解：①利用图象法可知PC＞DQ，故①错误．
②∵∠A＝∠B＝60°，∴当∠ADQ＝∠CPB时，△ADQ∽△BPC，故②正确．
③设AQ＝x，则四边形PCDQ的面积＝×32﹣×x××﹣×3×（3﹣x﹣）×＝+x，
∵x的最大值为3﹣＝，
∴x＝时，四边形PCDQ的面积最大，最大值＝，故③正确，
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，此时四边形P′CD′Q′的周长最小．

过点C作CH⊥D′F交D′F的延长线于H，交AB于J．
由题意，DD′＝2AD•sin60°＝，HJ＝DD′＝，CJ＝，FH＝﹣﹣＝，
∴CH＝CJ+HJ＝，
∴CF＝＝＝，
∴四边形P′CDQ′的周长的最小值＝3+，故④错误，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）
11．【解答】解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
12．【解答】解：12000＝1.2×104．
故答案为：1.2×104．
13．【解答】解：根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h＝cm，
∴圆锥的母线l＝＝2，
∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．
故答案为：2π．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE＝∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；
故答案为：115．
15．【解答】解：∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），
故答案为：y＝x2（答案不唯一）．
16．【解答】解：设绳长是x尺，井深是y尺，依题意有
，
解得．
故井深是8尺．
故答案为：8．
17．【解答】解：把点A（6，0）代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+3，
∴B（0，3），抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
设点M的坐标为：（，m），
当∠ABM＝90°，
过B作BD⊥对称轴于D，
则∠1＝∠2＝∠3，
∴tan∠2＝tan∠1＝＝2，
∴＝2，
∴DM＝3，
∴M（，6），
当∠M′AB＝90°，
∴tan∠3＝＝tan∠1＝＝2，
∴M′N＝9，
∴M′（，﹣9），
综上所述，点M的坐标为（，﹣9）或（，6）．

18．【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，

则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝8，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解答】解：（1）原式＝4+5﹣4
＝5；

（2）原式＝
＝
＝．
20．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2），
解①得x≥0，
解②得x＜1，
所以不等式组的解集为0≤x＜1．
21．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
22．【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率＝；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率＝＝．
23．【解答】解：（1）10+a﹣6＝15，解得a＝11，
故答案为11；
（2）根据题意得，解得，
即存款余额为22万元，
条形统计图补充为：

（3）小李在2018年的支出最多，支出了为7万元．
24．【解答】解：（1）如图直线l，⊙O即为所求．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，
∵BM＝，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN＝＝＝，
∵s△BNM＝S△BNO+S△BOM，
∴×1×＝×1×r+××r，
解得r＝．
故答案为．

25．【解答】证明：（1）∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠BOC＝∠D+∠OCD＝30°+90°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝30°，
∴∠DCB＝120°＝∠BOC，
又∵∠B＝∠D＝30°，
∴△BOC∽△BCD；
（2）∵∠D＝30°，DC＝，∠OCD＝90°，
∴DC＝OC＝，DO＝2OC，
∴OC＝1＝OB，DO＝2，
∵∠B＝∠D＝30°，
∴DC＝BC＝，
∴△BCD的周长＝CD+BC+DB＝++2+1＝3+2．
26．【解答】解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×（EH+AD）×20x+2×（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；

（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，
参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；

（3）S甲＝2×（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
27．【解答】解：（1）当DE＝，
∵AD＝1，
∴tan∠AED＝，AE＝，
∴∠AED＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝60°，
∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，
∴∠AEC＝∠AEM，
∵∠PEC＝∠DEM，
∴∠AEP＝∠AED＝60°，
∴△APE为等边三角形，
∴S＝×（）2+×1＝；
（2）过E作EF⊥AB于F，
由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PEA，
∴AP＝PE，
设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，
则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，
在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a＝，
∴S＝．

28．【解答】解：（1）①∵点A在y＝x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（m，m）．

②假设能在抛物线上，
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（﹣m，m），
∴P（﹣m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m＝．

（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，a2），
∴直线OA的解析式为y＝ax，
∴M（，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，可得N（﹣，2），
∴P（﹣，4），代入抛物线的解析式得到，﹣＝4，
解得a＝4±4，
∴直线OA的解析式为y＝（±1）x．

②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y＝﹣x＝﹣（±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（±1）x或y＝﹣（±1）x．