甘肃省天水市第一中学2019届高三下学期第七次模拟（最后一模）数学（理）试题

天水市一中2019届高三第七次模拟考试

数学试题（理）

命题：赵飞 审核：韩云亮

（满分：150分时间：120分钟）

本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必或用黑色字迹的签字笔描黑．

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要界弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

求得集合，根据集合交集运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，又由，

所以，故选C.

【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.

2.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（  ）

A. 的虚部为 B.  C. 的共轭复数为 D. 为纯虚数

【答案】D

【解析】

【分析】

将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.

【详解】

的虚部为，错误；，错误；，错误；

，为纯虚数，正确

本题正确选项：

【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.

3.若向量，，则与共线的向量可以是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.

【详解】

故选B

【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.

4.，则与位置关系是 (　　)

A. 平行 B. 异面

C. 相交 D. 平行或异面或相交

【答案】D

【解析】

结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．

选D．

5.空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（    ）

A. 这20天中指数值的中位数略高于100

B. 这20天中的中度污染及以上（指数）的天数占

C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好

D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

【答案】C

【解析】

【分析】

结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.

【详解】对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.

对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.

对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.

对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.

故选：

【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．

【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，

则该几何体的体积为：．

故选．

【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．

7.设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（    ）

A.  B. 4 C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

由得，又，两式相除即可解出．

【详解】解：由得，

又，

∴，∴，或，

又正项等比数列得，

∴，

故选：D．

【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．

8.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为1，输出的的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据循环语句，输入，执行循环语句即可计算出结果.

【详解】输入，由题意执行循环结构程序框图，可得：

第次循环：，，不满足判断条件；

第次循环：，，不满足判断条件；

第次循环：，，满足判断条件；输出结果.

故选：

【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.

9.若直线与曲线相切，则（  ）

A. 3 B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】设切点为，

∵，∴

由①得，

代入②得，

则，，

故选A.

【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.

10.双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于(　　)

A.  B. 2

C. 3 D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.

【详解】双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝.

答案：A

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.

11.已知数列对任意的有成立，若，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

分析】

观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.

【详解】已知，则，所以有，

，

，

，两边同时相加得，又因为，所以.

故选：

【点睛】本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.

12.函数在上单调递减，且是偶函数，若 ，则 的取值范围是（　　）

A. （2，+∞） B. （﹣∞，1）∪（2，+∞）

C. （1，2） D. （﹣∞，1）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围．

【详解】根据题意，函数 满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，

若函数在上单调递减，则在上递增，

所以要使，则有，变形可得，

解可得：或，即的取值范围为；

故选B．

【点睛】本题考查偶函数性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先利用，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到，从而求得，利用诱导公式求得，得到结果.

【详解】因为，所以，即，

所以，

故答案是.

【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.

14.若实数，满足，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

由约束条件先画出可行域，然后求目标函数的最小值.

【详解】由约束条件先画出可行域，如图所示，由，即，当平行线经过点时取到最小值，由可得，此时，所以的最小值为.

故答案为.

【点睛】本题考查了线性规划的知识，解题的一般步骤为先画出可行域，然后改写目标函数，结合图形求出最值，需要掌握解题方法.

15.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________．

【答案】1

【解析】

【分析】

由题意得展开式的二项式系数之和求出的值，然后再计算展开式各项系数的和.

【详解】由题意展开式的二项式系数之和为，即，故，令，则展开式各项系数的和为.

故答案为：

【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，需要掌握解题方法.

16.已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段中点的纵坐标为__________．

【答案】2

【解析】

【分析】

运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，然后求解结果.

【详解】抛物线的标准方程为：，则抛物线的准线方程为，设，，则，所以，则线段中点的纵坐标为.

故答案为：

【点睛】本题考查了抛物线的定义，由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，需要熟练掌握定义，并能灵活运用，本题较为基础.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.已知中，，，是上一点．

（1）若，求的长；

（2）若，，求的值．

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

（1）运用三角形面积公式求出的长度，然后再运用余弦定理求出的长.

（2）运用正弦定理分别表示出和，结合已知条件计算出结果.

【详解】（1）由

在中，由余弦定理可得

（2）由已知得

在中，由正弦定理可知

在中，由正弦定理可知

故

【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角形熟练运用各公式是解题关键，此类题目是常考题型，能够运用公式进行边角互化，需要掌握解题方法.

18.为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：

（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；

（2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；

（3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为，写出的分布列，并求的期望值．

附：

【答案】（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2）有 （3）分布列见解析，

【解析】

【分析】

（1）根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法.

（2）由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果.

（3）由已知条件计算出的分布列，进而求出的数学期望.

【详解】（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）．

（2）将列联表中的数据代入公式计算得

所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．

（3）以频率作为概率，随机选择1家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为．可取0，1，2，3，计算可得的分布列为：

【点睛】本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理抽样方法，计算以及数据的分布列和数学期望，需要正确运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法.

19.已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.

【答案】（1） （2）

【解析】

【分析】

（1）由已知条件列出关于和的方程，并计算出和的值，jike 得到椭圆的方程.

（2）设出点和点坐标，运用点坐标计算出，分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，求解出的最小值.

【详解】（1）由己知得：，解得，

所以，椭圆的方程

（2）设，．

当直线垂直于轴时，，且

此时，，

当直线不垂直于轴时，设直线

由，得．

，

.

要使恒成立，只需，即最小值为

【点睛】本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量.

20.如图在棱锥中，为矩形，面，

（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；

（2）当为中点时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）要证明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需满足即可，从而得到点E为中点;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

【详解】（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，

所以由,即存在点E为PC中点.

法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ， 由题意知PD＝CD＝1，

，设， ，，由

，得，

即存在点E为PC中点.

（2）由（1）知，，，

，， ，

设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为

由的法向量为得，得，

同理求得

所以，

故所求二面角P－AE－D的余弦值为.

【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．

21.设函数，其中．

（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求取值范围．

【答案】（Ⅰ）极小值，极大值；（Ⅱ）或

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据偶函数定义列方程，解得.再求导数，根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律，即得极值，（Ⅱ）先分离变量，转化研究函数，，利用导数研究单调性与图象，最后根据图象确定满足条件的的取值范围．

【详解】（Ⅰ）由函数是偶函数，得，

即对于任意实数都成立，

所以.                                           

此时，则.

由，解得.                              

当x变化时，与的变化情况如下表所示：   

所以在，上单调递减，在上单调递增.  

所以有极小值，有极大值.        

（Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”.                                  

 对函数求导，得.                 

 由，解得，.                    

 当x变化时，与的变化情况如下表所示：   

所以在，上单调递减，在上单调递增.   

又因为，，，，

所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.                                          

即当或时，函数在区间上有两个零点.

【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23总中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答的第一题评分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(Ⅰ)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

(Ⅱ)已知直线与曲线交于，两点，与轴交于点，求.

【答案】（1）(x－1)2＋y2＝4,直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0；（2）3.

【解析】

【分析】

(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.

【详解】(1)由曲线C的参数方程 (α为参数) (α为参数)，

两式平方相加，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4；

由直线l的极坐标方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，

即直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.

(2)由题意可得P(2，0)，则直线l的参数方程为 (t为参数)．

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，

将 (t为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，

则Δ>0，由韦达定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质可得，不等式对任意实数恒成立，等价于，解不等式即可求的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）当时，即，

①当时，得，所以；

②当时，得，即，所以；

③当时，得成立，所以.

故不等式的解集为.

（Ⅱ）因为，

由题意得，则，

解得，

故的取值范围是.