福建省龙海市第二中学2020届高三下学期模拟考试 数学（理）
展开龙海二中2020届高三下学期第二次模拟考试
数学（理科）试卷
(满分150分, 考试时间120分钟)
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）
1．复数z满足（i是虚数单位），则|z|= ( )
A． B． C． D．
2. 已知函数的定义域为集合，集合，则
为（ ）
A. B. C. D.
3. 《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题：“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等。问各得几何。”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为_ __钱。
A. B. C. D.
4．已知非零向量的夹角为，且则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最大值与最小值之差为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
6．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的有序数对为（ ）
A． B． C． D．
7．函数在的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．10+
B．10+
C．6+2+
D．6++
9．过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（ ）
A.4 B.2 C.1 D.
10．已知，的导函数的部分图象如图所示，则下列对的说法正确的是（ ）
A.最大值为且关于点中心对称
B.最小值为且在上单调递减
C.最大值为且关于直线对称
D.最小值为且在上的值域为
11．已知双曲线的右顶点为, 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且（其中为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，函数，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知随机变量，且，则__________.
14. 在的展开式中含有常数项，则正整数的最小值是 ．
15．在四面体中，，则四面体的外接球的表面积等于 ．
16. 设函数，， 记
，其中，()，，则____.
三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12 分）
在中，角的对边分别为，且成等比数列，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
18. （本小题满分12 分）
如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，，， ，平面.
（Ⅰ）设为线段的中点，求证：//平面；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的余弦值.
19．（本题满分12分）
为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.
（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；
（2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为，求的分布列和数学期望．
20．（本题满分12分）
设为椭圆上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|＋|PF2|＝4，离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)直线:与椭圆交于、两点，试问参数和满足什么条件时，直线,,的斜率依次成等比数列；
(III)求面积的取值范围.
21．（本题满分12分）
已知函数，（，）．
（Ⅰ）若函数在处的切线斜率为，求的方程；
（Ⅱ）是否存在实数,使得当时, 恒成立.若存在，求的值；若不存在，说明理由.
请考生在第（22），（23）二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率.
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知，求证：．
龙海二中2018-2019学年下学期期初考试
高三数学理科试题参考答案
一、选择题
1—5:CBBBC 6—10：ADCBD 11—12：AD
二、13. 0.15 14 . 5 15. 16.
解析:
16. 解析：当时，在单调递增，所以
所以
当时，在单调递增，在单调递减
所以
所以
所以
所以
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为成等比数列，所以----------------------------1分
由正弦定理可得-----------------------------2分
所以-----------------------------3分
--------------------------------4分
--------------------------------5分
--------------------------------6分
（Ⅱ）由得知----------------------7分
由得---------------------------------------8分
所以---------------------------------------9分
由余弦定理得
得--------------------------------10分
即--------------------------------11分
解得----------------------------------------------12分
18. （本题满分12分）
（Ⅰ）证明：设线段的中点为，
连接，. 在△中，为中位线，故.
又平面，平面，所以平面.
在底面直角梯形中，
，且，故四边形为平行四边形，
即.又平面，平面，所以平面.
又因为平面，平面，且，所以平面平面.
又平面，所以有平面. ……………6分
（Ⅱ）如右图所示，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 设，则，，，.
，，，，
设是平面的法向量，则，，
可取，同理，设是平面的法向量，则
，可取，从而. …12分
19. （本题满分12分）
（1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有种不同选择.
（2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数服从二项分布，所以分布列为
所以的数序期望.
20．（本题满分12分）
(Ⅰ)2a＝4，a＝2，c＝ae＝，b＝1，所以椭圆方程：......3分
（Ⅱ）设点，，则
由，消,得，
因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，.....5分
解得，由韦达定理得，，....6分
由题意知，，
即，所以，即，所以................9分
(III)设点到直线的距离为，则，
==，.....10分
所以，则，...11分
所以，
所以面积的取值范围是....................12分
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为，，……………………………2分
所以，解得或（舍去）. ………………………………………3分
因为，所以，切点为，
所以的方程为.………………………5分
（Ⅱ）由得，，，
又，所以，.…………………………2分
令（），则，
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值.…………………………9分
故只需（*）.
令（），则，
所以当时，，单调递增，所以.…………11分
故不等式（*）无解.
综上述，不存在实数,使得当时, 恒成立. …………12分
请考生在第（22），（23），二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
解：（1）曲线的直角坐标方程为：
当时，的直角坐标方程为：，
当时，的直角坐标方程为：…………5分
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得①
因为曲线截直线所得线段中点在内，所以①有两解，，则
又故
于是直线的斜率.…………10分
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ），即为，
该不等式等价于如下不等式组：
1），2），
3），
所以原不等式的解集为…………5分
（Ⅱ）由，
而，
所以.…………10分
