安徽省定远重点中学2020届高三3月线上模拟考试数学（理）试题

定远重点中学2020届高三3月线上模拟考试理科数学本卷满分150分，考试用时120分钟。 第I卷（选择题   共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集，集合，集合，则 A.                  B.                C.                      D. 2.已知i是虚数单位，，则A. 10                       B.                             C. 5                                D. 3.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为A.                                  B.                                C.                               D. 4.已知等差数列中，，则的值为A. 8                                       B. 6                                        C. 4                      D. 25.如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为A.                                B.2                             C.                   D. 6.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为A. 40                      B. 43                         C. 46                                D. 477.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：AQI指数值0～5051～100101～150151～200201～300＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染 下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好8.的展开式中含的项的系数为A. 30                                B. 60                                    C. 90                         D. 1209.已知满足约束条件若目标函数的最大值是6，则A.                                 B.                                    C.                                  D. 10.函数的图像大致为11.已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为A.                             B.                                C.                                  D. 12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，且双曲线C与圆在第一象限相交于点A，且，则双曲线C的离心率是A.                                 B.                            C.                           D. 第II卷（非选择题  90分） 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)  14.无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若， 则________15.将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为____．16.已知函数，若对于任意的正整数，在区间上存在个实数、、、、，使得成立，则的最大值为________三、解答题(共6小题 ,共70分)  17. （本小题满分12分）如图，在 中，角 的对边分别为 , . （1）求角 的大小；（2）若 为外一点， ，求四边形面积的最大值.18. （本小题满分12分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）19. （本小题满分12分）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知点，过点D作抛物线的切线l，切点A在第二象限．求切点A的纵坐标；有一离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l与椭圆的另一交点为点B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，，，若，求椭圆的方程．21. （本小题满分12分）已知函数．（1）若函数与的图象上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）．22. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（）．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于不等式的解集为，求的取值范围．
参考答案 题号123456789101112答案ABCCCCCBCACA 13.                              14.或                                  15.                 16.617.（1）（2）解：（1）在 中， . 有 ， ，则 ，即 ，则 .（2）在 中， ，又 ，则为等腰直角三角形， ，又 ， ，当 时，四边形 的面积最大值，最大值为 .18. 解：由，解得令得分中位数为，由解得故综合评分的中位数为由与频率分布直，优质花苗的频率为，即概率为，设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则，于是，其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望结合与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本种，优质花苗的颗数为棵，列联表如下表所示：可得所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.19. 解：(1)如图所示，连结，等边中，，则，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合⊆平面，故.(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，20.（1）（2）解：设切点则有，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点在l上所以即所以点A的纵坐标．由得，切线斜率，设，切线方程为，由得又，所以．所以椭圆方程为且过，所以．由得，所以，又因为，即，解得，所以所以椭圆方程为：21. 解：（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点，即的图像与函数的图像有交点，即在上有解.即在上有解.设，（），则当时，为减函数；当时，为增函数，所以，即.（2），在上存在两个极值点，，且，所以因为且，所以，即设，则要证，即证，只需证，即证设，，则在上单调递增，，即所以，即.22.（1）（2）解：（1）当时， ．所以，即为，所以，所以，即所求不等式解集为．（2）“关于不等式（）的解集为”等价于“对任意实数和， ”，因为， ，所以，即，又，所以．