湖南省长沙市长沙县第九中学2020届高三模拟考试数学（文）试卷
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数学（文）
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案B
2. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）。
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴复数的虚部是，
故选：B．
3.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案D
4.已知命题p：;命题q：若,则a<b.下列命题为真命题的是
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.
5.函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
答案B
6. 已知，则=( )
- B. C. D.
答案C
7. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆标准方程为：.
短轴长为，，解得：. 离心率，
又，， 椭圆的标准方程为.
故选：.
8.如图是棱长为1的正方体截去部分后的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
解析：直观图为：
故体积为：，选A
9．已知实数，满足，则的最大值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：
其中，，，平移参照直线3x-y=0,令t=y-3x,平移到处最小平移到处最大故
，所以的最大值是10.
10.等腰中，点D在底边BC上，，BD=8，CD=1，则的面积为( )
- B. C. D.
答案C
11. 如图所示，在梯形中，，，，，，，分别为边，的中点，则（ ）。
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】在梯形中,,
则可建立以为原点,方向为轴正方向的直角坐标系,如下图所示:
由题可得,因此,
所以,所以,
故选:B.
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，，，.
连接、，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，
，，
由余弦定理可得，，，
故选B.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、网店为了拉升人气，吸引顾客，想方设法提高商品的好评率，某网店对店里热销的三类产品:坚果、巧克力和麻辣熟食，统计一天的好评率：坚果类100个评价90个，好评率90%；麻辣类100个评价，好评率86%；巧克力类评价80个，好评率95%，则该店三类商品的平均好评率为 。
【命题意图】考查古典概型，以生活时尚为实例考查考生知识的实际运用能力、数学建模和运算能力，把生活实际实例与数学模型相结合。
【答案】90%
【解析】由题意可得，三类评价共有100+90+80=270个，好评共有
个，所以该店三类商品的平均好评率为。
14. .函数在点处的切线方程为 ．
答案
15..已知函数的一条对称轴为，若，则
的最小值为_________.
答案
16.两个正三棱锥与有共同的外接球，且的体积是的体积的两倍，则的侧面积是的侧面积的 倍。
解析：轴截面如图
不妨设球的半径为3，则,所以，所以，
所以，
所以侧面积之比为：
三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
（一）必
考题（本大题共5小题，共60分）
17、已知数列满足：，（）
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和。
解析：（1）证明：
且
是首项为1，公比为2的等比数列。
（2）由（1）可得：
18. 已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，且，
（1）在棱上是否存在点使，若存在求的位置，若不存在，说明理由；
（2）求点到平面的距离。
解析：（1）假设存在点使，
因为，
所以平面
所以
又，所以平面
所以
所以∽
所以
所以存在点且是的中点；
（2）（等体积法）
19.某市教育局为了提高三数学学习效率，对数学课堂进行教改，打破原来题海战术，重视知识点的掌握，现在记录某重点高中以学生所用时间（单位：）与掌握知识点个数x的数据如下表所示：
知识点x(个) | 2 | 3 | 4 | 5 |
学习的时间y(h) | 2.5 | 3.0 | 4.0 | 4.5 |
(1) 据统计表明，y与x之间具有线性相关关系，请用相关系数加以说明（若，则认为y与x有很强的线性相关关系，否则认为没有很强的线性相关关系）；
(2) 求出y关于x的线性回归方程＝x＋，预测掌握6个知识点需要多少时间？
（3）据科学数据分析，大脑的遗忘规律性和学习的效率性，一个人连续学习最好不要超过5个小时，学生的学习功效值z与x,y近似满足关系式，求掌握多少个知识点时，学生的学习功效值最大？
附注：参考数据：≈1.414.
参考公式：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计分别为，，相关系数
【解析】由表中数据得：iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，
＝54, ，
r＝
因为y与x的相关系数近似为0.99>0.75，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）∴＝0.7，＝1.05，∴＝0.7x＋1.05.
将x＝6代入回归直线方程，
得＝0.7×6＋1.05＝5.25(小时)．
∴预测包装10个商品包装需要5.25小时．
（3）由题意可得
当掌握知识点个数x=3时，学生的学习功效值z取最大值9.
20. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.
（1）求的方程；
（2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.
【答案】（1）或； （2）证明见解析．
【解析】
（1）当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即.当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即，
综上可知：的方程为或. ············4分
（2）因为点在上，所以曲线的方程为. ········5分
设点，
直线，显然存在，联立方程有：.··········7分,
即即.··········9分
直线即············11分
直线过定点. ············12分
21. 已知函数
(1)求函数在区间的最小值;
(2)若函数在上有两个零点且﹐证明:
【解】（1）由，令，则
在上单调递增，又
所以存在，使得，所以在上，单调递减，
在上，单调递增，又，所以对
恒成立，即，所以函数在区间单调递减，
(2)证明：由（1）知函数在区间单调递减，
时，单调递增，又
所以时，，所以函数在区间单调递增，
函数在上有两个零点即与的图像有两个交点，则，且. 要证只需证,又
只需证,又,只需证,即证.
设即
,所以在单调递增,
所以,所以成立,故
（二）选作题（10分）：请考生在第22、23题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分．
22.在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线
的参数方程是，在以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线的极坐标方程是.
(1) 写出及的极坐标方程；
(2) 已知，与交于两点，与交于两点，求的最大值.
解：(1)直线的极坐标方程是；
曲线的极坐标方程是
(2)：，
23.(1)已知函数，解不等式
(2)已知均为正数，求证：
解：(1)当时，原不等式化为
当时，原不等式化为
当时，原不等式化为
综上所知：原不等式的解集为
(2)证明：
，当且仅当时等号成立
以上三个式子相加可得：
