黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题

哈尔滨市第六中学2020届高三第三次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则(    )A.         B.         C.         D. 2．设,则（   ）A．2          B．3              C．               D．3．已知向量且，则（     ）A．            B．             C．                D．4．设则（     ）A．                       B．      C．                       D． 5．若，则的值为（    ）A.              B.             C.                 D. 6．在等比数列中，若，则 (   )A．              B．              C．              D． 7．若函数的零点在区间上，则的取值范围是（  ）A．         B．         C．        D．8．函数，下列结论正确的是（    ）A．向右平移个单位，可得到函数的图像     B．的图像关于中心对称            C．的图像关于直线对称            D．在为增函数9．在的展开式中, 项的系数为(   )A．10 B．25 C．35 D．6610．已知三棱锥的外接球的球心为，平面， ， ，，则球心O到平面的距离为（   ）A．          B．             C．             D．11．在中，的对边分别为，，，且满足，，则面积的最大值为（   ）A．         B．         C．          D．12．已知定义域为R的奇函数，满足，则下列叙述正确的为（     ）①存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根②当时，恒有③若当时，的最小值为1，则④若关于的方程和的所有实数根之和为零，则A．①②③ B．①③ C．②④ D．①②③④  第Ⅱ卷（非选择题  共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题，23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过点的直线与抛物线交于两点，且，则此直线的方程为_________.14．函数的单调减区间为______________.15．在我校本年度足球比赛中，经过激烈角逐后，最终四个班级的球队闯入半决赛.在半决赛中，对阵形式为：对阵，对阵，获胜球队进入决赛争夺冠亚军，失利球队争夺三四名.若每场比赛是相互独立的，四支球队间相互获胜的概率如下表所示： 获胜概率—0.30.40.8获胜概率0.7—0.70.5获胜概率0.60.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队最终获得冠军的概率为_____.16．正方体的棱长为2，点在棱上运动，过三点作正方体的截面，若为棱的中点，则截面面积为_________，若截面把正方体分成体积之比为的两部分，则=_______.  三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为， （Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若公差，求数列的前项和.   18．（本小题满分分）如图，在多面体中，正方形所在平面垂直于平面，是等腰直角三角形,，∥，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.        19．（本小题满分分）   已知点，过点作抛物线的两切线，切点为．（Ⅰ）求两切点所在的直线方程；（Ⅱ）椭圆，离心率为，（Ⅰ）中直线AB与椭圆交于点P，Q， 直线的斜率分别为，，，若，求椭圆的方程．        20．（本小题满分分）“海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病的功效，防癌效果尤为显著。海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度(‰)对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现,可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系,用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为．海水浓度(‰)34567亩产量(吨)0.620.580.490.40.31残差     （Ⅰ）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量.（Ⅱ）(i )完成上述残差表:(ii)统计学中，常用相关指数来刻画回归效果,越大,模型拟合效果越好,并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，利用统计学的相关知识，说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率?（计算中数据精确到）(附:残差公式，相关指数)     21．（本小题满分分） 已知函数（）（Ⅰ）若为的极大值点，求的取值范围；.（Ⅱ）当时，判断与轴交点个数，并给出证明.  请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程分别为，，交曲线于点,交曲线于点.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）求的值.  23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲   已知函数．（Ⅰ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若不等式对任意成立，求实数的取值范围． 
123456789101112BDCACDCCDBDB13、  14、15、0.22   16、17.解：（1）由，得所以                   ( 1分 )又得，即            ( 2分 )所以， ( 4分 )即或                                   ( 6分 )（2）当公差时，1）当时，，      ( 7分 )设数列的前项和为，则( 8分 )2）当时，                        ( 10分)所以数列的前项和             ( 12分)18.解：（1）可取中点，连结,证明四边形为平行四边形，且平面即可（6分）（2）易知两两垂直，故以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系。可求得，（7分）平面的一个法向量为（9分）设直线与平面所成角为，则（11分）所以直线与平面所成角的正弦值为。（12分）19、（1）（2）设切点则有由切线的斜率为设切点所以抛物线点的切线的斜率为，切线方程为抛物线点的切线的斜率为，切线方程为(2分)两切线交点（4分）（6分）直线方程为由得又，所以．所以椭圆方程为，由得，所以，（8分）又因为，即，（10分）（12分） 20.(1)经计算,,由可得,,.....1分当时,,  2分所以当海水浓度为8‰时,该品种的亩产量为0.24吨．   3分(2)(ii)由(1)知,从而有 海水浓度(‰)34567亩产量(吨)0.620.580.490.40.31残差-0.020.020.010-0.018分(ii) ,  10分所以亩产量的变化有是由海水浓度引起的．（或者说海水浓度解释了的亩产量变化）12分  21、（1）（1分）设当无极值成立为极小值点综上（6分）（2）由（1）知①在单调递增，，有唯一零点②满足，在增，减增当时恒成立，当有唯一零点③在增，减增在无零点，在有唯一零点综上：，有唯一零点（12分） 22．解：（1）曲线E的普通方程为令，得，即曲线E极坐标方程为  ......4分（2）依题意得，根据勾股定理，，将，代入中，得，    ......6分设点所对应的极径分别为，，，，   ... ...7分则，，，    ... ...8分∴... ...10分 23．（1），∴的值域为，∵关于的不等式有解，∴，  5分（2）与由图象知，要使对任意成立，只需要，且解得，9分故得取值范围为．10分