宁夏石嘴山市第三中学2020届高三第三次模拟考试理科数学试卷
展开石嘴山三中2020届高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试卷
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2． （ ）
A． B． C． D．
3．已知，且，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．在直角梯形中，已知∥，，，，，若为的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．5
5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的公差为3，前项和为，且，，成等比数列，则（ ）
A．51 B．54 C．68 D．96
7、下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定形式是“，”
B．若平面，，，满足，则
C．随机变量服从正态分布（），若，则
D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件
8、甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9、已知函数的部分图像如图所示，给出下列四个结论：
①的最小正周期为；
②的最小值为；
③是的一个对称中心；
④函数在区间上单调递增.
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10、函数的图象大致是（ ）
A． B．C．D．
11、已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12、已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
14、已知f(x)是上最小正周期为的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为________．
15、已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆半径是________.
16、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知acosB＝bcosA，，边BC上的中线长为4．则边c＝_____；_____．
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）已知等比数列{an}（其中n∈N*），前n项和记为Sn，
满足：，且
（1）求数列{an}的通项公式；
18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点
（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求锐二面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：
表1：新农合门诊报销比例
医院类别 | 村卫生室 | 镇卫生院 | 二甲医院 | 三甲医院 |
门诊报销比例 | 60% | 40% | 30% | 20% |
根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：
表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表
医院类别 | 村卫生室 | 镇卫生院 | 二甲医院 | 三甲医院 |
一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例 | 70% | 10% | 15% | 5% |
如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．
（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？
（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望．
20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点、Q(x,y),若以线段为直径的圆与轴相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.
21、（本小题满分12分）已知函数（），是的导数.
（1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点；
（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围
请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是: （是参数）.
（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.
（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求的取值范围.
- （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲.
已知函数，记不等式的解集为.
（1）求；
（2）设，证明：.
石嘴山三中三模
数学(理科)试卷答案
一、选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | A | A | D | C | A | D | D | B | A | C | C |
二．填空题
- -84 14. 7 15. 16. , -
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知等比数列{an}（其中n∈N*），前n项和记为Sn，满足：，log2an+1＝﹣1+log2an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an•log2an}（n∈N*）的前n项和Tn．
解（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q，
∵log2an+1＝﹣1+log2an，
∴，∴．
由，得，解得．
∴数列{an}的通项公式为．
（2）由题意，设bn＝an•log2an，则．
∴Tn＝b1+b2+…+bn
故，
两式相减，可得．
∴．
18、如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点
（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求锐二面角的余弦值.
证明：（1）∵在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），
，，
，∴；
（2）∵F为棱PC上一点，满足，∴设，，
则， ，
∵，，解得，
，
设平面ABF的法向量，
则，取，得，
平面ABP的一个法向量，设二面角的平面角为，
则，∴二面角的余弦值为.
19．十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：
表1：新农合门诊报销比例
医院类别 | 村卫生室 | 镇卫生院 | 二甲医院 | 三甲医院 |
门诊报销比例 | 60% | 40% | 30% | 20% |
根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：
表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表
医院类别 | 村卫生室 | 镇卫生院 | 二甲医院 | 三甲医院 |
一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例 | 70% | 10% | 15% | 5% |
如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．
（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？
（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望．
解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为，，，，
而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：人，
设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为，则；
（Ⅱ）由题意可得随机变量的可能取值为：，，，，
，，，，
所以的发分布列为：
X | 20 | 60 | 140 | 400 |
P | 0.7 | 0.1 | 0.15 | 0.05 |
所以可得期望．
20．在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，则由题设条件可得，化简后可得轨迹的方程.
（2）设直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得，结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.
【详解】
（1）设，则圆心的坐标为，
因为以线段为直径的圆与轴相切，
所以，
化简得的方程为.
(2)由题意，设直线，
联立得，
设 （其中）
所以，，且，
因为，所以，
，所以，故或 （舍），
直线，
因为的周长为
所以.
即，
因为.
又，
所以，
解得，
所以.
【点睛】
本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.
21、已知函数（），是的导数.
（1）当时，令，为的导数.证明：在区间存在唯一的极小值点；
（2）已知函数在上单调递减，求的取值范围
解（1）由已知，，所以，
设，，
当时，单调递增，而，，且在上图象连续
不断.所以在上有唯一零点，
当时，；当时，；
∴在单调递减，在单调递增，故在区间上存在唯一的极小
值点，即在区间上存在唯一的极小值点；
（2）设，，，
∴在单调递增，，
即，从而，
因为函数在上单调递减，
∴在上恒成立，
令，
∵，
∴，
在上单调递减，，
当时，，则在上单调递减，，符合题意.
当时，在上单调递减，
所以一定存在，
当时，，在上单调递增，
与题意不符，舍去.
综上，的取值范围是
请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是: （是参数）.
（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围.
试题解析：（1）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为：
直线的直角坐标方程为：
圆心到直线l的距离（弦心距）
圆心到直线的距离为 ：
或
（2）曲线的方程可化为，其参数方程为：
为曲线上任意一点，
的取值范围是
- （本题满分10分）选修4—5；不等式选讲.
已知函数，记不等式的解集为.
（1）求；
（2）设，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.
（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.
【详解】
（1）解：，
由，解得，
故.
（2）证明：因为，所以，，
所以，
所以.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.
