陕西省榆林中学2020届高三第三次模拟考试理科数学试题

2020届榆林中学高三第三次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（　　）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】【分析】由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.2.已知为虚数单位，复数，则（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】对进行化简，得到标准形式，在根据复数模长的公式，得到【详解】对复数进行化简所以【点睛】考查复数的基本运算和求复数的模长，属于简单题.3.抛物线的通径长为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先将抛物线方程，化为标准方程，再利用通径公式求解.【详解】抛物线方程，化为标准方程为，所以通径．故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.4.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（    ）A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．5.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于．一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据幻方对角线上的数成等差数列，利用等差数列的性质和求和公式求解.【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，由等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于，由等差数列求和公式得所以故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列求和，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.6.根据如下样本数据得到的回归方程为，则（    ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】画出散点图，根据y的值大致随x的增加的变化，判断b，再令，判断 .【详解】画出散点图如图所示：y的值大致随x的增加而减少，因而两个变量呈负相关，故， 又时，，故，故选：A．【点睛】本题主要考查变量的相关关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7.设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，，，则下列等式中恒成立的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质有，，成等比数列，再利用等比中项求解.【详解】由等比数列的性质得，，成等比数列，所以，化简得．故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8.设，则的大小关系是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数运算、指数函数的性质，利用和进行分段，由此比较出三者的大小关系.【详解】；故选：C.点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.9.已知函数的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则下列结论中正确的是（    ）A. 的最大值为 B. 在区间上单调递增C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称【答案】B【解析】【分析】根据函数的最小正周期是，得到，将函数的图象向左平移个单位长度后得到，再由其函数图象过点，解得，得到，然后逐项验证.【详解】因为函数的最小正周期是，所以，将函数的图象向左平移个单位长度后得到，又函数图象过点，所以，则，因为，所以，所以，A. 易得的最大值为1，故错误.B. ，故在区间上单调递增，故正确.C. ，故错误.D. ，故错误.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.10.过正方体的顶点作平面，使得正方体的各棱与平面所成的角都相等，则满足条件的平面的个数为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】法一：直线AB、AD、AA1与平面A1BD所成角都相等，过顶点A作平面α∥平面A1BD，过顶点A分别作平面α与平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直线AB、AD、AA1与平面α所成的角都相等．法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等，由此能求出结果．【详解】解法一：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，直线AB、AD、AA1与平面A1BD所成角都相等，过顶点A作平面α∥平面A1BD，则直线AB、AD、AA1与平面α所成角都相等，同理，过顶点A分别作平面α与平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直线AB、AD、AA1与平面α所成的角都相等，∴这样的平面α可以作4个．故选：C解法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等因为有四条体对角线，所以，可以做四个平面．故选：C【点睛】本题主要考查正方体在平面上的投影以及直线与平面所成的角，还考查了空间想象的能力，属于基础题.11.椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点到两焦点的距离分别为，焦距为，利用余弦定理得到，再根据椭圆和双曲线的定义，得到，代入求解.【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点到两焦点的距离分别为，焦距为，则，又，，故，，所以，化简得，即 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知正方形的边长为，为内一点，满足，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】在中，利用正弦定理解得，再在中，利用余弦定理解得，然后通过三角形的形状得到结论.【详解】已知正方形的边长为，如图所示：  在中，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，∴为等腰三角形，．故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.展开式中的系数为_______．【答案】【解析】【分析】由，利用通项公式求解.【详解】因为，所以展开式中含的项为，所以的系数为．故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.设实数，满足不等式，当时取得最小值时，直线与以为圆心的圆相切，则圆的面积为________．【答案】【解析】【分析】由实数，满足不等式，作出可行域，将变形为，平移直线，找到最优点，得到的最小值，从而得到直线方程，再利用直线与圆相切求解.【详解】由实数，满足不等式，作出可行域如图所示阴影部分，将变形为，平移直线，当直线过点时，在y轴上的截距最小，此时，取得最小值，直线方程为，圆心到直线的距离为：，所以圆的面积为．故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划求最值以及直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.已知等差数列的公差，，则使得集合，恰好有两个元素的的值为________．【答案】【解析】【分析】要使得集合恰好有两个元素，根据元素的互异性，则，再通过，利用诱导公式求解.【详解】要使得集合恰好有两个元素，则，所以，所以，的终边关于轴对称，，因为，所以．故答案为：【点睛】本题主要考查知识迁移涉及了集合，诱导公式和等差数列等知识，还考查了特殊与一般的思想和理解应用的能力，属于中档题.16.在三棱锥中，，，，若PA与底面ABC所成的角为，则点P到底面ABC的距离是______；三棱锥P-ABC的外接球的表面积_____.【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P到底面ABC的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥置于长方体中，其中平面，由与底面ABC所成的角为，可得，即为点P到底面ABC的距离，由，得，如图，PB就是长方体（三条棱长分别为1，1，）外接球的直径，也是三棱锥外接球的直径，即，所以球的表面积为.故答案为：；.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角所对的边分别是.（Ⅰ）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；（Ⅱ）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值【答案】（1）或.（2），【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得 a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得恒等变形得c2-9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sⅠnθ,BC=，△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,再由利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．试题解析：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差2，∴a=c-4、b=c-2．又因∠MCN=π，,可得,恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得.∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=,又,当,即时，f（θ）取得最大值.考点：1.余弦定理;2．正弦定理18.如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，底面，点分别为，的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先证明，，可得平面从而平面平面；（2）由题意可知两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系，求出平面的法向量及，代入公式可得未知量的方程，解之即可.【详解】（1）证明：∵，为的中点，∴又平面，平面，∴∵∴平面∵平面∴平面平面（2）解：如图，由（1）知，，，点，分别为的中点，∴，∴，，又，∴两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系.则，，，，设，所以，，设平面的法向量，则，，令，则，，∴由已知 或（舍去）故故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，此时为线段的中点.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.已知（1）求的轨迹（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，设直线的斜率分别是，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，是否是定值，请说明理由，并加以证明.【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】（1）如图因为所以四边形是平行四边形所以，由得所以的轨迹是以为焦点的椭圆易知   所以方程为（2）设，过的斜率为的直线为，由直线与圆相切可得即：由已知可知是方程的两个根，所以由韦达定理：两式相除：又因为所以代入上式可得：即：为一个定值.20.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）求导得到，记，令，得到增区间， 得到减区间. （2）记，求其最小值即可，求导，由，令，得或，再分，，，三种情况讨论求解.【详解】（1），记，令，得，函数在上单调递增；，得或，函数在或上单调递减．（2）记，由，，得或，∵，所以．①当时，，且时，；时，，所以，∴恒成立；②当时，，因为，所以，此时单调递增，且，所以，成立；③当时，，，所以存在使得，因此不恒成立，综上，的取值范围是．【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.年月日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量在与之间，日需求量（件）的频率分布如下表所示：己知其成本为每件元，售价为每件元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件元．（1）设每天的进货量为，视日需求量的频率为概率，求在每天进货量为的条件下，日销售量的期望值（用表示）；（2）在（1）的条件下，写出和的关系式，并判断为何值时，日利润的均值最大．【答案】（1）分类讨论，见解析；（2）20件【解析】【分析】（1）根据每天的需求量在与之间，当日需求量时，日销售量为；当日需求量时，日销售量为，然后利用期望公式建立日销售量的期望分段函数模型. （2）由（1）知，当时，；将n换为n+1，化简即可.设每天进货量为，日利润为，根据成本为每件元，售价为每件元，若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件元．建立利润期望模型，然后作差研究增减性即可.【详解】（1）当日需求量时，日销售量为；日需求量时，日销售量为，故日销售量的期望为：当时，；当时，．（2），设每天进货量为，日利润为，则，，由，又∵，，∴最大，所以应进货20件时，日利润均值最大．【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用和离散型随机变量的期望，还考查了理解应用和运算求解的能力，属于中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.【答案】（1），（2）【解析】分析：（1）消去得直线方程为，极坐标化为直角坐标可得曲线的直角坐标方程为：；（2）设曲线上的点为，由点到直线距离公式可得，则曲线上的点到直线的距离的最大值为.详解：（1）由，消去得：，曲线的直角坐标方程为：；（2）设曲线上的点为，则点到直线的距离为，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.点睛：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程转化为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【选修4-5：不等式选讲】23.设a＞0，b＞0，且a+b＝ab．（1）若不等式|x|+|x﹣2|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围．（2）是否存在实数a，b，使得4a+b＝8？并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求的最小值，然后对绝对值不等式进行分类讨论，得到的取值范围.（2）求出的最小值，然后进行判断【详解】由，得 ，当且仅当时成立.不等式即为.当时，不等式为，此时；当时，不等式成立，此时；当时，不等式为，此时；综上，实数的取值范围是.由于.则 .当且仅当，即时，取得最小值.所以不存在实数，使得成立.点睛】本题考查基本不等式，绝对值不等式通过分类讨论进行求解，难度不大，属于简单题.