陕西省咸阳市2020届高三第一次高考模拟检测数学（文）试题
展开咸阳市2020年高考模拟检测（一）
数学文科试题
注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；
2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名.准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；
3.第I卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第II卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；
4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.
【详解】，因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2.设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在等式的两边同时除以，利用复数的除法法则可求出复数.
【详解】，.
故选：B.
【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
3.记是等比数列的前项和，若，则公比（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
用和表示，结合以及可求出的值.
【详解】由题意可知，且，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查等比数列求项和中基本量的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
4.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出向量的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出的值.
【详解】，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
5.“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．
【详解】设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜,或x＞0}，
∵AB，
故“x＞0”是“”成立的充分不必要条件．
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．
6.椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.
【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.
7.函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式，可得出函数的单调递增区间.
【详解】令，解得，
因此，函数的单调递增区间是.
故选：C
【点睛】本题考查余弦型三角函数单调区间的求解，解题时要熟练利用余弦函数的单调性，考查计算能力，属于中等题.
8.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】，且，
则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，涉及的妙用，考查计算能力，属于中等题.
9.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则.
其中真命题的序号为（ ）
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.
【详解】对于命题①，若，过直线作平面，使得，则，，，，，命题①正确；
对于命题②，对于命题②，若，，则，命题②正确；
对于命题③，若，，则与相交、平行或异面，命题③错误；
对于命题④，若，，则或，命题④错误.
故选：A.
【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
10.有编号为,,的三个盒子和编号分别为,,的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】以表示编号为、、的盒子分别放编号为、、的小球，则所有的基本事件有：、、、、、，共种，
其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：、，共个，
因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为.
故选：D.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.
11.设函数，则（ ）
A. 有极大值 B. 有极小值
C. 有极大值 D. 有极小值
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数求出函数的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.
【详解】，定义域为，，令，可得.
当时，；当时，.
所以，函数在处取得极小值，
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.
12.已知双曲线的两个焦点分别为,，以为直径的圆交双曲线于,,,四点，且四边形为正方形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出，将点的坐标代入双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率.
【详解】设双曲线的焦距为，设、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，
由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，、关于原点对称，、关于轴对称，由于四边形为正方形，则直线的倾斜角为，可得，
将点的坐标代入双曲线的方程得，即，
设该双曲线的离心率为，则，整理得，
解得，因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线在点处的切线的方程为__________．
【答案】
【解析】
分析】
对求导，带入得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.
详解】
带入得切线的斜率，
切线方程为，整理得
【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.
14.若变量、满足约束条件：，则的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察该直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，得，可得点，
平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般通过平移直线找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
15.已知，则_________，=__________．
【答案】；1．
【解析】
试题分析：由题意得，,所以.
考点：1.二倍角公式；2.三角恒等变换.
16.秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.
.
改写成以下形式：
若，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用霍纳算法依次计算，，在处的取值，由此可得出，从而得出结果.
【详解】由霍纳算法可知，当时，，
，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查算法思想的应用，解题的关键就是利用题中的算法逐一计算，考查计算能力，属于中等题.
三、.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17.在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）如果，，求的面积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由得出，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得，结合的范围可得出角的值；
（Ⅱ）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积.
【详解】（Ⅰ），.
化简得：，又，；
（Ⅱ）由余弦定理得，，
整理得，解之得：，.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
18.如图，长方体中，是棱的中点，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由长方体的性质可得出平面，从而可得出；
（Ⅱ）由长方体的性质可得出平面，可得出三棱锥的高为，由此可计算出三棱锥的体积.
【详解】（Ⅰ）证明：是长方体，平面.
又平面，；
（Ⅱ），是棱的中点，，，
在长方体中，则平面，
.
【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了三棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
19.某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制.为了了解积分情况，随机调查了名员工，得到这些员工学习得分频数分布表：
得分 | |||||
人数 |
（Ⅰ）求这些员工学习得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从得分在和的员工中选取人.从选取的人中，再任选取人，求得分在和中各有人的概率.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将每组的中点值乘以频数，相加之后再除以总人数即可得出所求平均数；
（Ⅱ）由分层抽样可知，人中位于中的有人，分别记为、，在中的有人，分别记为、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“得分在和中各有人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式计算即可.
【详解】（Ⅰ）记这名员工学习得分的平均数为，
则；
（Ⅱ）用分层抽样可知从中选人，记这人分别为、，
从中选人，记这人分别为、、.
从、、、、中再任取人的情况有：
、、、、、、、、、，共种.
其中得分在和中各有人的情况有：
、、、、、，共种.
记事件为“得分在和中各有人”，则.
【点睛】本题考查样本平均数的计算，同时也考考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，考查计算能力，属于中等题.
20.已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求实数取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，然后分和两种情况讨论，分析在上导数符号的变化，即可得出函数的单调区间；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数有两个零点，则且有，即可求出实数的取值范围.
【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，.
①当时，由，知函数在内单调递增；
②当时，由，即得；
由，即得.
所以，函数在内单调递增，在内单调递减.
因此，当时，在内单调递增；
当时，在内单调递增；在内单调递减；
（Ⅱ）当时，则函数在上为增函数，函数最多一个零点，不合乎题意，舍去；
当时，由（Ⅰ）知，函数在内单调递增，在内单调递减.
且当时，，当时，，
则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21.如图，已知抛物线的焦点是，准线是.
（1）写出焦点的坐标和准线的方程；
（2）已知点，若过点直线交抛物线于不同的两点、（均与不重合），直线、分别交于点、，求证：.
【答案】（1），准线的方程为；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义即可解题；
（2）由（1）知：设直线的方程为：，与抛物线方程联立，由根与系数的关系得：．直线方程为：，，当时，，，同理得：，得到，所以，所以．
【详解】解：（1）抛物线的焦点为，准线的方程为：；
（2）设直线的方程为：，令，，
联立直线的方程与抛物线的方程，消去得，由根与系数的关系得：.
直线方程为：，，
当时，，，同理得：.
，,
，
，.
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
(二)选考题：共10分，考生从22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡.上将所选题目对应的题号涂黑.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程(为参数)，直线的参数方程(为参数).
（1）求曲线在直角坐标系中的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）消去参数后化简整理即可得到曲线的普通方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，可得到关于的一元二次方程，由韦达定理并结合参数的几何意义可得，从而求得，最后写出直线的倾斜角即可.
【详解】（1）由曲线的参数方程 (为参数)， 可得：，
由，得：，
曲线的参数方程化为普通方程为：；
（2）中点的极坐标化成直角坐标为，
将直线的参数方程代入曲线的普通方程中，得：，
化简整理得：，
，
即，
，
即，
又，
直线的倾斜角为.
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线参数方程中的几何意义的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
23.已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若时，，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将代入函数的解析式，分和解不等式，即可得出不等式的解集；
（Ⅱ）由可得出，由可得出，结合，即可得出实数的取值范围.
【详解】（Ⅰ）当时，，由得.
①当时，原不等式可化为：，解之得：；
②当时，原不等式可化为：，解之得：且，.
因此，不等式的解集为；
（Ⅱ）当时，，
由得，，，
，，因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用不等式恒成立求参数，解题的关键就是要结合自变量的取值范围去绝对值，考查运算求解能力，属于中等题.
