山西省太原市第五中学2020届高三6月模拟考试数学（理科）试题
展开太原五中2019-2020学年度第二学期6月模拟考试（一）
高三数学（理）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项.
1.已知集合，.则（ ）
A. B. C. D.
2.设且，“z是纯虚数”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）
A.18 B.9 C.6 D.3
4.已知方程的根为，且，，则（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知某线性规划问题的约束条件是，则下列目标函数中，在点处取得最小值的是（ ）
A. B. C. D.
6.把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种
A.41 B.56 C.156 D.252
7.如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
9.设，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且（e为自然对数的底数），则函数的图象大致为（ ）
A B.C.D.
10.如图是正态分布的正态曲线图，下面4个式子中，等于图中阴影部分面积的式子的个数为（ ）注：
① ② ③ ④
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图所示，在中，，点F在线段上，设，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12.设是函数的导函数，且满足，若在中，为钝角，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.被7除后的余数为________________________.
14.若顶点在原点的抛物线经过三个点，，中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________________.
15.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是棱，，的中点，P是底面内一动点.若直线与平面不存在公共点，设直线与直线所成角为，则的取值范围是___________________.
16.中，三个内角，，所对的边分别为，，.且，若边上的中线的长为2，则面积的最大值为____________________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
如图所示的多面体满足：正方形与正三角形所在的两个平面互相垂直，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
18.（12分）
设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，且，对一切都成立.
（1）当时，证明数列是常数列，并求数列的通项公式；
（2）是否存在实数，使数列是等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19.（12分）
已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线交椭圆于A，B两点，若，在线段上取点D，使得.求证：点D在定直线上.
20.（12分）
为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如茎叶图：
（1）（Ⅰ）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m，并将连续正常运行时间超过m和不超过m的次数填入下面的列联表：
| 超过 | 不超过 |
改造前 |
|
|
改造后 |
|
|
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？
附：
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
（2）工厂的生产线的运行需要进行维护，工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为T天（即从开工运行到第T天进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：，
以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列.
21.（12分）
已知函数的两个零点记为，.
（1）求a的取值范围；
（2）证明：.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分.
22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为，直线经过点A.曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点作直线的垂线交曲线C于D，E两点（D在x轴上方），求的值.
23.（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若的值域为，证明：.
太原五中2020年6月数学（理科）答案和解析
一、选择题：1-12 BAAC ABDB ACDD
二、填空题
13.4； 14.或 15.； 16.
三、解答题
17解：（1）由题可得，∵四边形是正方形且三角形是正三角形，所以，，且，
又∵，，所以，在三角形中，根据余弦定理可得：.
∵平面平面，，平面平面，且平面，所以平面，
∵，，，且平面，平面，所以平面平面，所以平面，
又∵平面，所以，
综上：，，且面，所以平面，
又∵平面，所以平面平面.
（2）如图，分别取和的中点O，G，连接，，
因为且三角形为正三角形，所以，
因为，，所以，
由（1）可得，平面，则平面，
故、、两两垂直，分别以、、所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不设，则，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，
则，
所以
又二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为.
18.解：（1）①当时，，
则，
即.
∵数列的各项均为正数，
∴.
∴，
化简，得，①
∴当时，，②
②-①，得，
∵当时，，∴时上式也成立，
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，即.
（2）由题意，令，得；令，得.
要使数列是等差数列，必须有，解得.
当时，，且.
当时，，
整理，得，即，
从而，
化简，得，即.
综上所述，可得，.
∴时，数列是等差数列.
19.解：（1）由题意得，解得，，，
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，，
由，得，
，则，
则有，，
由，得，
由可得，
，
.
综上，点在定直线上.
20.解：（Ⅰ）（1）由茎叶图的数据可得中位数，
根据茎叶图可得：，，，，
| 超过 | 不超过 |
改造前 | 5 | 15 |
改造后 | 15 | 5 |
（2）根据（1）中的列联表，，
有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异；
（Ⅱ）120天的一个生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，得，
设一个生产周期内需要次维护，，正常维护费为万元，
保障维护费为首项为0.2，公差为0.2的等差数列，共次维护需要的保障费为元，
故一个生产周期内保障维护X次的生产维护费为万元，
设一个生产周期内的生产维护费为X万元，则X可能取值为2，2.2，2.6，3.2，4，
则，
，
，
，
，
则X的分布列为：
2 | 2.2 | 2.6 | 3.2 | 4 | |
21.解：（Ⅰ）由得，
令，，
当，，递增，
当，，递减，
因为当，；当，，且，，，，，，
所以函数有两个不同的零点，此时；
（Ⅱ）先证，
不妨设，由（1）可知，，
构造函数，，
当，，递增，，，
所以，即
因为，所以，，
由（1）可知在是递增，，即，
要证明，只需证明，
即，，
只需证明，，
令，，
当，，递增，
当，，递减，
当，，，故.
22.解：（1）由题意得点A的直角坐标为，将点A代入得，
则直线的普通方程为.
由得，即.
故曲线C的直角坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为（t为参数），
代入得.
设对应参数为，对应参数为.
则，，且，.
∴.
23.解：（Ⅰ）当时，不等式为，
当时，不等式化为，此时不等式无解；
当时，不等式化为，故；
当时，不等式化为，故.
综上可知，不等式的解集为.
（Ⅱ），当且仅当与同号时，取得最小值，
∵的值域为，且，，故.
故，，∴（当且仅当时取等号）.
又∵，∴，∴，（等号成立条件同上）
∴.
