江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学5月模拟考试试题理

江西省抚州市临川第一中学2020届高三数学5月模拟考试试题 理（满分：150分  考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的） 已知为虚数单位,若复数,在复平面内对应的点分别为,,则复数（   ）   A．        B．       C．       D．2．已知集合,,则（   ）A．        B．           C．       D．3．设为等差数列的前项和,若,则（   ）A．      B．     C．     D．4．已知定义在上的偶函数满足,且在区间上是减函数,令,,则的大小关系为（    ）A.  B.  C.  D.5．若点上,则的值等于（   ）A．             B．              C．   D．      6. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是(    )A．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降7．已知,如图是求的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入（   ）A．       B．      C．       D．8．已知实数满足约束条件,则的取值范围是（   ）A．          B．           C．           D．9．函数的图象大致为（   ）10．2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为（   ）A．72      B．84       C．96       D．120 11．已知,是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为（   ）A．    B．    C．    D． 12．已知是函数的极大值点,则的取值范围是（   ）A． B．           C．  D．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．设向量与的夹角为,定义与的“向量积”：是一个向量,它的模.若,则____________.14. 若,则的展开式中的系数为___________.15．在棱长为4的正方体中,为线段的中点,若三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为               .16．已知,为双曲线的左、右顶点,双曲线的渐近线上存在一点满足,则的最大值为________．三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图,在平面四边形中,,,且.（1）若,求的值；（2）求四边形面积的最大值.    18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,是正三角形,,,.（1）若,求证：平面；（2）若,求二面角的正弦值．     19．（本小题满分12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：研发费用（百万元）2361013151821销量（万盒）1122.53.53.54.56（1）根据数据用最小二乘法求出与的线性回归方程（系数用分数表示，不能用小数）；（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型,,,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测．第一次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,,第二次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,．两次检测过程相互独立,设经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,求的分布列与数学期望．附：（1）（2）．    20．（本小题满分12分）给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点.①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程并证明；②求证：线段的长为定值.  21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若在上存在单调递增区间,求实数的取值范围；（2）设,若,恒有成立,求的最小值.  请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若射线与和分别交于点,求．  23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为M,且,求证：.
2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA    6-10．DBBDB     11-12．DB二、填空题13．    14．     15．     16．三、解答题17．【答案】（1）（2）法一：解：（1）在中，由正弦定理得，∴∵，∴或    ………………3分当时，此时三点共线，矛盾 ∴   ………………4分∴.………………6分法二：由余弦定理………………3分若时，此时，即三点共线，矛盾………………4分∴，此时∴…6分（2）设，在中，由余弦定理得……8分∴.……………………11分当时，四边形面积的最大值.  ……………………12分备注：（1）若第1问用正弦定理没写出，扣1分（2）若第1问用余弦定理没写出，并且排除，扣1分18.【答案】（1）见详细答案（2）（1）如图，作，交于，连接.因为，所以是的三等分点，可得.因为，，，所以，因为，所以，…………………1分 因为，所以，所以，（2分） 因为，所以，所以，……3分 因为平面，平面，所以平面.……4分又，平面，平面，所以平面.……………5分因为，、平面，所以平面平面，所以平面.…6分（2）因为是等边三角形，，所以.又因为，，所以，所以.又，平面，，所以平面.因为平面，所以平面平面.在平面内作平面.………7分以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，，.………8分设为平面的法向量，则，即，令，可得.………………9分设为平面的法向量，则，即，令，可得.………………10分所以………………11分则，所以二面角的正弦值为.……………………12分备注：若第2问用几何法做对也给满分.19．【答案】（1）（2）分布列见详解，数学期望为.解：解：（1）由题意可知，，………………2分由公式………………3分  ………………4分∴……………5分（2）药品的三类剂型经过两次检测后合格分别为事件,则……………7分由题意， ………10分0123…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为，准圆方程为； ①方程为  ②见详解【解析】（1），………………2分椭圆方程为， ………………3分   准圆方程为．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，所以由得.……………5分因为直线与椭圆相切，所以，解得，……………6分所以方程为．……………7分，．……………8分（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则：，当：时，与准圆交于点，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当：时，直线垂直……………9分②当斜率存在时，设点，其中.设经过点与椭圆相切的直线为，所以由得.……………10分由化简整理得因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即垂直．……………11分综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值6．……………12分21．【答案】（1）（2）解：（1）由，得，……………1分由在上存在单调递增区间，可得在上有解，……………2分即在上有解，则，∴，∴的取值范围为.……………4分（2）设，，则.设，则， ……………5分∴单调递增，即在上单调递增 ∴.……………6分当时，，在上单调递增，∴，不符合题意；当时，，在上单调递减，，符合题意；当时，由于为一个单调递增的函数，而，，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，从而在上单调递减，在上单调递增，   ……………9分因此只需，∴，∴，从而，综上，的取值范围为，……………10分因此. 设，则，令，则，∴在上单调递减，在上单调递增，……………11分从而，∴的最小值为.……………12分备注：第1问写扣1分22.（1）,（2）【解析】（1）由可得，由，消去参数，可得直线的普通方程为．………………2分由可得，将，代入上式，可得，所以曲线的直角坐标方程为．…………………………5分（2）由（1）得，的普通方程为，将其化为极坐标方程可得，…………………………7分当时，，，所以．………………10分备注：第1问没写扣1分23.（1）  （2）见详解【解析】（1）当时，等价于，该不等式恒成立；当时，等价于，该不等式不成立；当时，等价于，解得，…………………………3分所以不等式的解集为.…………………………5分（2）因为，当时取等号，所以,，……7分由柯西不等式可得,当且仅当时等号成立，所以.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分