2020届重庆市康德卷高考模拟（一）数学（文）试题（解析版）
展开2020届重庆市康德卷高考模拟（一）数学（文）试题
一、单选题
1．复数年复平面中所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由复数除法求出复数后可得对应点坐标，确定象限．
【详解】
，对应点，在第二象限．
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．
2．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】求出，根据奇偶性求出
【详解】
当时，，
所以，
函数是定义在R上的奇函数，
则.
故选：C
【点睛】
此题考查根据函数奇偶性求函数值，属于简单题目，关键在于准确计算.
3．已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数（ ）
A．2 B．-1 C．2或-1 D．-2或1
【答案】C
【解析】由向量共线的坐标运算求得．
【详解】
∵A，B，C三点共线，∴共线，∴，解得或．
故选：C.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标运算，属于简单题．
4．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别求出集合，，再求解即可得解.
【详解】
集合，
，
则.
故选：B
【点睛】
此题考查集合的基本运算，关键在于准确求出集合内部的元素.
5．某学校为了解学生的数学学习情况，从甲、乙两班各抽取了7名同学某次数学考试的成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．极差
【答案】B
【解析】根据茎叶图计算各数据特征．
【详解】
由茎叶图，甲均值为，同理乙的均值也是，中位数都是90，极差都是99-80＝19，只有方差不相同了．
故选：B.
【点睛】
本题考查样本数据特征．考查茎叶图．由茎叶图确定所有数据，确定各数据特征．掌握各数据特征的概念是解题关键．
6．设a，b是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下面推理中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】B
【解析】A选项也可能两个平面相交，B选项是根据面面平行证明线面平行，所以正确，C选项也可能两个平面相交，D选项应该是.
【详解】
考虑平面，显然也满足，，不能得出，所以AC都错误；若，，则，所以B正确；若，，，则，所以D错误.
故选：B
【点睛】
此题考查空间线面位置关系的判断，关键在于熟练掌握定理公理进行推导，可举出反例推翻命题排除选项.
7．已知命题P：“若对任意的都有，则”，则命题P的否命题为（ ）
A．若存在使得，则
B．若存在使得，则
C．若，则存在使得
D．若，则存在使得
【答案】B
【解析】把条件，结论都否定，同时把任意与存在互换．
【详解】
否命题是条件、结论都否定，“任意的都有”的否定为“存在使得”.
因此命题P的否命题是：若存在使得，则
故选：B.
【点睛】
本题考查否命题，掌握四种命题的关系是解题关键．否命题与命题的否定要区分开来．否则易出错．
8．由直线x+2y-7=0 上一点P引圆的一条切线，切点为A,则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得圆的标准方程为，设圆心为，故，由切线性质可得，的最小值为，故的最小值为，故选B.
点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.
9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由解析式分析函数的性质，如奇偶性，单调性，函数值的正负，变化趋势等．
【详解】
，则，函数是偶函数，排除C，
当较大时，，可排除A，
当时，，，由，知在上递减，上递增，，又，，∴有两个零点，在上有两个极值点，图象为先增后减再增．只有D符合，排除B．
故选：D.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可由解析式研究函数性质，如奇偶性，单调性，对称性，周期性等等，研究函数值的正负，函数值的变化趋势，函数图象的特殊点，如顶点，极值点等，从而通过排除法选择正确的结论．
10．定义新运算“”：，则下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据新定义运算验证各选择支．
【详解】
由题中较小数的两倍减去较大的数，
，A正确；
若，则，B正确；
，C正确；
，
D不正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查新定义运算，正确理解新定义运算是解题关键．
11．既与函数的图象相切，又与函数的图象相切的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，
由导数的几何意义分别写出切线方程，这两个方程表示同一直线，比较后得的方程，确定方程组的解的个数，即公切线的条数．
【详解】
设公切线在上的切点为，在上的切点为，
，
则公切线为：，，整理为：
，，
所以且，联立消去得：
①，由得，或．
令，则，或，
故在上单减，在上单增，在上单减，
当时，当时，当时，
当时，因此在时，，故在内有唯一零点，在内有唯一零点，
即①式中有两个不同解，即有两条公切线.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，用导数研究切线问题，用导数研究函数的零点，考查零点存在定理，难度较大．考查转化与化归思想，公切线的条数，转化为方程解的个数，转化为函数零点个数，转化为研究函数的单调性等．
二、填空题
12．曲线在点处的切线的横纵截距之和为__________.
【答案】
【解析】到处导函数，再求出切线方程，即可得到横纵截距之和.
【详解】
由题：，
，，
所以在点处切线方程，即
当，
当，
所以该切线的横纵截距之和为.
故答案为：
【点睛】
此题考查求曲线在某点处的切线方程，再求直线截距，关键在于根据题意准确计算.
13．若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为________
【答案】3
【解析】【详解】试题分析：画出约束条件表示的可行域，然后确定目标函数取得最大值时的位置，求解即可．解：由题意可知变量x，y满足约束条件的可行域为三角形区域，目标函数z=3x+y的最大值是函数的图象经过点A，即y=x，3x+2y=5的交点A（1，1），时取得．所以目标函数的最大值为：3．故答案为3．
【考点】线性规划
点评：本题考查简单的线性规划的应用，考查计算能力．属于基础题
14．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则___．
【答案】2
【解析】将已知等式根据诱导公式处理成结合正弦定理边化角计算得，即可得解.
【详解】
由题：在中，
，
.
故答案为：2
【点睛】
此题考查利用正弦定理进行边角互化求三角形的边长，关键在于根据和差公式准确化简.
15．足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的处将其顶角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱边数为__________.
【答案】90
【解析】根据截图方法，原有的棱没有减少，每个正三角形内增加三条棱，即可得解.
【详解】
由题原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面3条棱，
每条棱属于两个面，所以共有条棱，
此外每个面会产生3条新棱，共产生条新棱，
∴共有90条棱.
故答案为：90
【点睛】
此题考查几何体结构的辨析，根据线面关系求棱的条数.
三、解答题
16．如图，三棱锥中，底面ABC，，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且．
（1）证明：平面BDE；
（2）若是边长为2的等边三角形，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）设AE中点为G，连结GF，GC，证明平面平面EBD，即可证得线面平行；
（2）转换锥体顶点即可求解.
【详解】
（1）设AE中点为G，连结GF，GC，
则，平面EBD.
，∴，平面，
∴平面平面EBD，∴平面；
（2）设h为点到平面PAC的距离
作于M．
底面ABC，底面ABC，
，是平面PAC内两条相交直线，
∴平面PAC，．
.
【点睛】
此题考查证明线面平行和求锥体体积，需要熟练掌握常见证明方法和求锥体体积的处理办法.
17．已知数列满足：，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1），则代入已知式可证得结论；
（2）由（1）求得，从而得，用错位相减法求数列的前n项和.
【详解】
解：（1）设，由题，
即，又，
为等比数列，
即为等比数列；
（2）由（1）知，
即，
，，
，，
两式相减得，
.
【点睛】
本题考查等比数列的证明与求通项公式，考查错位相减法求数列的和．掌握用定义证明等比数列的方法，掌握数列求和的常用方法即可．
18．某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠（本次即第一次），标准如下：
体检次序 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次及以上 |
收费比例 | 1 | 0.95 | 0.90 | 0.85 | 0.8 |
该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如下表：
体检次数 | 一次 | 两次 | 三次 | 四次 | 五次及以上 |
频数 | 60 | 20 | 12 | 4 | 4 |
假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；
（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人发放纪念品，求抽到的2人中恰有1人体检3次的概率．
【答案】（1）40元；（2）
【解析】（1）根据优惠方案算出三次体检医院的收入减去成本即可得到利润；
（2）根据分层抽样可得抽出的5人中，有3人恰好体检三次，各有1人恰好体检四次五次，根据古典概型求解概率.
【详解】
解：（1）医院三次体检的收入为，
三次体检的成本为，
利润为元，故平均利润为40元；
（2）由题抽出的五个人中有3人恰体检三次，记为A，B，C，有一人恰体检四次，记为D，有一人恰体检至少五次，记为E，从五人中抽两个人出来，共有，，，，，，，，，10种情况其中抽到的2人中恰有1人体检3次的情况有，，，，， 6种情况，所求概率为.
【点睛】
此题主要考查统计与概率相关知识，涉及分层抽样和古典概型的计算，熟练掌握基本概念准确求解.
19．已知椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于点E，F，过点E作轴于点M，直线FM交椭圆C于另一点N，证明：．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）根据离心率和焦距即可求得椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，求出点E，F坐标，再求点N坐标，根据斜率关系证明垂直.
【详解】
解：（1）由题，，∴，，，
故椭圆方程为；
（2）设，，，
则
与椭圆方程联立得，
由得，
，
∴，即.
【点睛】
此题考查根据椭圆的基本量求椭圆方程，根据直线和椭圆的焦点坐标证明直线与直线的垂直关系，对计算能力要求比较高.
20．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）当时，在单调递增，当时，的增区间为，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；（2）
【解析】（1）求出导函数，分类讨论分子二次函数的根的情况即可得解；
（2）结合（1）得出最大值，构造函数，结合单调性求解.
【详解】
（1）
，
考虑，
当时，，在单调递增，
当时，记的两根，
结合可得：两根属于，
时，，
时，，
的增区间为，减区间为，
当时，开口向下，结合可得：
时，，
时，，
的增区间为，减区间为，
综上所述：当时，在单调递增，当时，的增区间为，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；
（2）当时，当时，，
所以，
不满足对任意恒成立，
当时，结合（1），的增区间为，减区间为，
开口向下，结合可得：
是方程的根，所以，
所以，
由题
令，
，
易得时，，所以在单调递增，且
，即，
所以，
，
所以.
【点睛】
此题考查导函数的应用，处理函数单调性求最值，利用单调性解不等式，需要对代数式进行一定的观察，发现特殊值，便于转化求解，涉及分类讨论以及转化与化归思想.
21．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.
（1）求C的普通方程，并判断直线l与曲线C的公共点的个数；
（2）若曲线C截直线l所得弦长为，求的值.
【答案】（1），有两个交点；（2）0或.
【解析】（1）由可得曲线的普通方程，由直线所过定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系，从而得交点个数；
（2）把直线的方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算圆的弦长可求得直线的斜率，即．
【详解】
解：（1），
经过点，而点在圆的内部，
与有两个交点；
（2），设到的距离为，与交于点，中点为，
，，
或，
或.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交弦长问题．求直线被圆截得的弦长的常用方法
①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长；
②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为.
22．已知函数，设不等式的解集为M.
（1）求集合M；
（2）若，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）对绝对值分段讨论求解不等式；
（2）处理，即可得证.
【详解】
解：（1）当时，，不满足；
时，，不满足；
当时，；
综上，；
（2）
，，.
【点睛】
此题考查解绝对值不等式和证明不等式，涉及分类讨论的思想，证明不等式常见办法可以作差，也可单侧变形证明.
