2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．若集合，，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求出集合，然后再求交集.

【详解】

由得， ,

则

故选：C

【点睛】

本题考查集合求交集,属于基础题.

2．已知，为虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.

【详解】

为纯虚数.

则

所以

故选：A

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．

3．已知a，b都是实数，那么“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．

【详解】

都是实数，由“”有成立，反之不成立，例如.

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：B

【点睛】

本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．函数零点的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】求函数和函数交点的个数，数形结合可得结论．

【详解】

函数零点的个数，

即方程的根的个数，

所以只需求函数和函数交点的个数

在同一坐标系中分别作出函数和函数的图像.

如图所示，函数和函数交点有1个.

故选：B

【点睛】

本题主要考查函数的图象的交点问题，函数的零点个数的判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．

5．由下表可计算出变量的线性回归方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：由题意，∴样本中心点为（3，1.2）代入选择支，检验可知A满足.故答案选A．

【考点】线性回归方程.

6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知的顶点，，且，则的欧拉线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线，即可得出的欧拉线的方程．

【详解】

因为，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上

，，则的中点为

,

所以的垂直平分线的方程为：，即.

故选：D

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题．

7．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由得到为偶函数，所以当时，，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.

【详解】

因为，

所以为偶函数, 则当时，.

此时，

当时，    当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

在上，当时函数有最小值..

由为偶函数，根据选项的图像C符合.

故选：C

【点睛】

本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.

8．在中，，，点为的外心，则的值为（    ）

A．26 B．13 C． D．10

【答案】D

【解析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出.

【详解】

如图,设的中点分别为,则,

所以

故选：D

【点睛】

本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题．

9．已知数列满足，且是函数的极值点，设，记表示不超过的最大整数，则（    ）

A．2019 B．2018 C．1009 D．1008

【答案】D

【解析】求得的导数，可得，数列为等比数列，可得数列的通项公式，利用对数的运算性质可得，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求值．

【详解】

由，是函数的极值点，

所以，即

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列,

则.

由

所以

即

故选：D

【点睛】

本题考查导数的运用：求极值点，考查数列恒等式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

10．如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆，可得圆心为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为4，由球的截面圆性质建立关于的方程并解出即可求出球的表面积．

【详解】

设正方体上底面所在平面截球得小圆，
则圆心为正方体上底面正方形的中心．如图．

设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，
而圆的半径为4，由球的截面圆性质，得，
解得： ．
∴球的表面积为 ．
故选：B．

【点睛】

此题主要考查了正方体的性质、垂径定理以及勾股定理等知识，将立体图转化为平面图形是解题关键．

11．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可.

【详解】

双曲线的焦点在轴上，则；
设，由双曲线的定义可知：，
由题意可得：，
据此可得：，又 ，∴，
由正弦定理有:,即

所以，解得：，

所以的周长为：

=

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．

12．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

函数有三个不同的零点,

即方程有三个不同实数根.

设,

则

由,

当时，，单调递减，

当时，，单调递增,

所以

所以在恒有

令，得或.

当时，，当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

，

时，，

时，，

所以时，，时

所以的大致图像如下:

方程有三个不同实数根.

结合函数图像有：

故选：C

【点睛】

本题考查函数的零点、导数的综合应用，考查转化与化归能力，运算求解能力、数形结合思想，属于难题.

二、填空题

13．若实数x，y满足则的最大值为______．

【答案】3

【解析】作出不等式组满足的平面区域，再将目标函数平移经过可行域，可得最值.

【详解】

由作出可行域，如下

目标函数可化为.

表示直线在轴上的截距.

即求直线在轴上的截距的最大值.

由可行域的图像，可知目标函数过点时截距最大.

所以的最大值为：

故答案为：3

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，注意简单线性规划中目标函数的几何意义，属于基础题.

14．已知，，则的值为______．

【答案】

【解析】根据角的范围，先求出的值，然后用角变换可求解.

【详解】

由，

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题.

15．已知函数，满足（a，b均为正实数），则ab的最大值为______．

【答案】4

【解析】由，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出的关系，可得出答案.

【详解】

由.

所以，且a，b均为正实数.

则当且仅当 时取等号.

故答案为：4.

16．设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长______．

【答案】

【解析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．

【详解】

抛物线焦点坐标为，

设点

设直线l方程为，

由抛物线的定义有，

由，得，即.

所以有，

又由 得：，

所以，

由(1),(2)联立解得：.

又

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题．

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）已知点P在边BC上，，，，求的面积．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由正弦定理可得，可得答案.|
（Ⅱ）由条件为等边三角形，则，由余弦定理得，，可得，从而得到三角形的面积.

【详解】

（Ⅰ）∵，由正弦定理可得，

又A是内角，∴，∴

∵，∴．

（Ⅱ）根据题意，为等边三角形，又．

在中，由于余弦定理得，，

解得，，∴，．

∴的面积．

【点睛】

本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.

18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中的值；

（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；

（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：

完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？

附：

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）表见解析，没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.

【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中的面积之和为1，求参数.
（Ⅱ）由题意前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，利用列举的方法可求得概率.
（Ⅲ）先计算填好2×2列联表，然后代入公式计算，与给出的表格比较得出答案.

【详解】

（Ⅰ）由题意解得.

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，分别记为，，，，，，，，从中抽取2辆的结果有：

，，，，，，；

，，，，，；

，，，，；

，，，；

，，；

，，；

共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个，

∴所求的概率为.

（Ⅲ）2×2列联表如下：

由上表及公式可知，因为2.02＜2.072

所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.

【点睛】

本题考查根据频率分布直方图求参数，考查概率可独立性检验，属于中档题.

19．如图在梯形中，，，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）设，分别为，的中点，求三棱锥的体积．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）根据原图中的垂直关系，得到翻折后，，从而可证明.
（Ⅱ）由，分别为，的中点，从而可求解体积.

【详解】

（Ⅰ）由题意可知为正方形，∴，且，即

又，且，∴平面，∵，，

又，∴平面.

（Ⅱ）∵为的中点，∴，∴

又为的中点，∴，∴

∴

又，∴.

【点睛】

本题考查翻折问题，考查线面垂直的证明和求体积,属于中档题.

20．已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．

（Ⅰ）求椭圆的方程

（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，或

【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为和的周长为12可得，可求椭圆方程.
（Ⅱ）的中点为,由条件有，即,设，用直线的斜率把表示出来，可求解其范围.

【详解】

（1）由题意可得，所以，，所以椭圆的方程为.

（2）直线的解析式为，设，，的中点为．假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．由得，

故，所以，

因为，所以，即，所以

当时，，所以；

当时，，所以

综上：m取值范围是或.

【点睛】

本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题.

21．设函数，且（其中e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若，求的单调区间；

（Ⅱ）若，求证：．

【答案】（Ⅰ）增区间为，减区间为；（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）当时，令，对求导分析出其单调性，从而分析出函数值的符号，得到的单调区间.
（Ⅱ）对求导讨论其单调性，分析其最小值，证明其最小值大于0即可.

【详解】

（Ⅰ）由可得，，又，∴，，，

令，，

当时，，在单调增函数，又.

∴当时，，，当时，；，

∴的单调增区间为，减区间为

（Ⅱ）当时，，符合题意.

方法（一）当时，

令，又，

∴在唯一的零点，设为，有

且，，单调递减；，，单调递增

∴∵，∴，两边取对数，

∴

（当且仅当时到等号）

设，∴，

当时，，当时，；

又，且，，趋向0时，；

∴当，，当且仅当时取等号

由（1）可知，当时，，故当时，，，∴

综上，当时，

方法（二）

当时，（i）当时

，，显然成立；

（ii）当时，构造函数

，在为减函数，∴，∴

∴，∴

∴

又由，可得，进而

综上：当时，

【点睛】

本题考查求函数单调区间和证明函数不等式，考查了导数的应用，应用了放缩与指对互化的技巧，属于难题.

22．在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求，的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．

【答案】(1),；(2)．

【解析】试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.

试题解析：

（1）因为，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为

（2）将代入

得得， 所以

因为的半径为1，则的面积为

【考点】坐标系与参数方程.

23．    已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].

【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围

试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．                 6分

（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|

－2－a≤x≤2－a，

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，

故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．

【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数