2020届北京市平谷区高三3月质量监控（一模）数学试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，集合，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求出集合，然后进行并集的运算即可.
【详解】
∵，，
∴.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.
【详解】
A：为非奇非偶函数，不符合题意；
B：在上不单调，不符合题意；
C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
D：为非奇非偶函数，不符合题意.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.
3．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.
【详解】
∵，∴，，，.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.
4．双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可.
【详解】
∵双曲线的一条渐近线方程为，
可得，∴，
∴双曲线的离心率.
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
5．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【解析】过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.
【详解】
由圆：配方为，
，半径.
∵过点的直线与圆：相切于点，
∴；
∴；
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.
6．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.
【详解】
将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
设，
则当时，，，
即，
要使在区间上单调递减，
则得，得，
即实数的最大值为，
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
7．设点，，不共线，则“”是“”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
由于点，，不共线，则“”；
故“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.
8．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．4
【答案】A
【解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.
【详解】
最底层正方体的棱长为8，
则从下往上第二层正方体的棱长为：，
从下往上第三层正方体的棱长为：，
从下往上第四层正方体的棱长为：，
从下往上第五层正方体的棱长为：，
从下往上第六层正方体的棱长为：，
从下往上第七层正方体的棱长为：，
从下往上第八层正方体的棱长为：，
∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.
9．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【解析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.
【详解】
由三视图还原原几何体如图，
其中，，为直角三角形.
∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.
10．在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）.，，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，分别算出和的值，从而得到的值.
【详解】
∵，
∴，
∴，
当时，，∴，
当时，，∴，
∴，
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查对数运算，属于基础题.
二、填空题
11．如果复数满足，那么______（为虚数单位）.
【答案】
【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解.
【详解】
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题.
12．已知，那么______.
【答案】
【解析】由已知利用诱导公式可求，进而根据同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】
∵，
∴，，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
13．设常数，如果的二项展开式中项的系数为-80，那么______.
【答案】
【解析】利用二项式定理的通项公式即可得出.
【详解】
的二项展开式的通项公式：，
令，解得.
∴，
解得.
故答案为：-2.
【点睛】
本小题主要考查根据二项式展开式的系数求参数，属于基础题.
14．如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.
【答案】
【解析】先求出抛物线的准线方程，然后根据点到准线的距离为6，列出，直接求出结果.
【详解】
抛物线的准线方程为，
由题意得，解得.
∵点在抛物线上，
∴，∴，
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
15．某公园划船收费标准如表：
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为______元，租船的总费用共有_____种可能.
【答案】360 10
【解析】列出所有租船的情况，分别计算出租金，由此能求出结果.
【详解】
当租两人船时，租金为：元，
当租四人船时，租金为：元，
当租1条四人船6条两人船时，租金为：元，
当租2条四人船4条两人船时，租金为：元，
当租3条四人船2条两人船时，租金为：元，
当租1条六人船5条2人船时，租金为：元，
当租2条六人船2条2人船时，租金为：元，
当租1条六人船1条四人船3条2人船时，租金为：元，
当租1条六人船2条四人船1条2人船时，租金为：元，
当租2条六人船1条四人船时，租金为：元，
综上，租船最低总费用为360元，租船的总费用共有10种可能.
故答案为：360，10.
【点睛】
本小题主要考查分类讨论的数学思想方法，考查实际应用问题，属于基础题.
三、解答题
16．在中，，， .求边上的高.
①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
【答案】详见解析
【解析】选择①，利用正弦定理求得，利用余弦定理求得，再计算边上的高.
选择②，利用正弦定理得出，由余弦定理求出，再求边上的高.
选择③，利用余弦定理列方程求出，再计算边上的高.
【详解】
选择①，在中，由正弦定理得，
即，解得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择②，在中，由正弦定理得，
又因为，所以，即；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
选择③，在中，由，得；
由余弦定理得，
即，
化简得，解得或（舍去）；
所以边上的高为.
【点睛】
本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题.
17．为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表.
（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的概率：
（2）从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈，记为抽到高中的人数，求的分布列；
（3）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果）
【答案】（1）（2）详见解析（3）初中生平均参加公益劳动时间较长
【解析】（1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解；
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，则分布列可求；
（3）由图表直接判断结果.
【详解】
（1）100名学生中共有男生48名，
其中共有20人参加公益劳动时间在，
设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的事件为，
那么；
（2）的所有可能取值为0，1，2，3.
∴；；
；.
∴随机变量的分布列为：
（3）由图表可知，初中生平均参加公益劳动时间较长.
【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题.
18．如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为平行四边形，侧面为正方形，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）连接，交与，连接，由，得出结论；
（2）以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可.
【详解】
（1）连接，交与，连接，
在中，，
又平面，平面，
所以平面；
（2）由平面平面，，为平面与平面的交线，故平面，故，又，所以平面，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，得，
平面的法向量为，
由，
故二面角的大小为.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19．已知函数，其中.
（1）当时，求在的切线方程；
（2）求证：的极大值恒大于0.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；
（2）分类讨论得出极大值即可判断.
【详解】
（1），
当时，，，
则在的切线方程为；
（2）证明：令，解得或，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
∴函数无极值；
②当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴；
③当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴，
综上，函数的极大值恒大于0.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
20．已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）根据椭圆的定义可得，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；
（2）设直线的方程，代入椭圆方程，求得直线和的方程，求得和的横坐标，表示出，根据韦达定理即可求证为定值.
【详解】
（1）因为，由椭圆的定义得，，
点在椭圆上，代入椭圆方程，解得，
所以的方程为；
（2）证明：设，，直线的斜率为，设直线的方程为，
联立方程组，消去，整理得，
所以，，
直线的直线方程为，令，则，
同理，
所以：
，
代入整理得，
所以为定值.
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.
21．记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.
（2）推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是.
（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【详解】
（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，
是递增数列，∴，
∴的前项和.
（2）证明：∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的“极差数列”仍是
（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，
，
根据，的定义，得：
，，且两个不等式中至少有一个取等号，
当时，必有，∴，
∴是一个单调递增数列，∴，，
∴，
∴，∴是等差数列，
当时，则必有，∴，
∴是一个单调递减数列，∴，，
∴，
∴.∴是等差数列，
当时，，
∵，中必有一个为0，
根据上式，一个为0，为一个必为0，
∴，，
∴数列是常数数列，则数列是等差数列.
综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
