2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（理）试题（解析版）

2020届河北省衡水中学高三二调考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对集合进行化简，然后根据集合的交集运算，得到的值.

【详解】

集合，

集合

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于简单题.

2．设函数满足，则的图像可能是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，确定函数的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．

由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．

3．若函数在处的切线方程为，则，的值为(    )

A．2,1 B．-2，-1 C．3,1 D．-3，-1

【答案】C

【解析】将代入切线方程得到切点，将切点代入到解析式中，得到，利用导数的几何意义，对函数求导，代入，得到切线斜率，得的值.

【详解】

将代入切线，

得到切点坐标为，

将代入到函数解析式中，得到，

所以，

求导得，

代入得，

所以，得.

故选：C.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，根据导数的切线求参数的值，属于简单题.

4．已知命题：使，命题：，，则命题成立是命题成立的(    )条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【解析】根据命题和命题，分别得到的范围，从而得到答案.

【详解】

命题：使，

则，

，所以设，

则，在上单调递增，

所以，

命题：，，

可得

所以命题成立是命题成立的充要条件.

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数相关的复合函数的值域，判断充分必要条件，属于简单题.

5．已知，则与的交点个数为(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】令，得，分和进行讨论，利用零点存在定理，得到的零点个数，从而得到答案.

【详解】

要求与的交点，则令，

设，即求的零点个数，

所以，

当时，，解得，（舍），

所以时，有且仅有一个零点；

当，，

，所以在上单调递增，

而，，

由零点存在定理可知在上有且仅有一个零点；

综上所述，有且仅有两个零点，

所以与的交点个数为.

故选：B.

【点睛】

本题考查分段函数的性质，函数图像交点与零点的转化，根据零点存在定理求零点的个数，属于中档题.

6．已知函数，则定积分的值为(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可．

【详解】

因为

所以

的几何意义为以为圆心，以为半径的圆，在x轴上方的部分

因而

所以

所以选A

【点睛】

本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题．

7．已知函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为(  )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，这样原不等式可以转化为，构造新函数，求导，并结合已知条件，可以判断出的单调性，利用单调性，从而可以解得，也就可以求解出，得到答案.

【详解】

解:令，则，

令，则，

在上单调递增，

，故选A.

【点睛】

本题考查了利用转化法、构造函数法、求导法解决不等式解集问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.

8．若函数为偶函数，且时，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据题意得到关于成轴对称，得到再利用导数，得到时的单调性，从而得到不等式的解集.

【详解】

因为函数函数为偶函数，

所以可得关于成轴对称，

所以，

当时，，

所以

设，则，

当，，单调递减，

，

即，所以在上单调递减，

在上单调递增，

所以不等式的解集为.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的单调性，根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.

9．设，，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由比较，的大小，利用中间量比较,，从而得解.

【详解】

∵，，∴.

∵，∴，∴.

又，∴，即.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数的单调性比较大小，解题的关键是找到合适的中间量进行比较大小，属于难题.

10．已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，可得，原问题转化为直线有且只有两个整数点处的函数值大于函数的值，利用导函数研究函数的单调性得到关于a的不等式组，求解不等式组即可确定a的取值范围.

【详解】

令，则：，

，

设，，

故，

由可得，

在上，，为减函数，

在上，，为增函数，

的图像恒过点，

在同一坐标系中作出，的图像，

如图所示，若有且只有两个整数，使得，且，

则，即，

解得：.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查导函数研究函数的单调性，直线恒过定点问题，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．设定义在上的奇函数满足：对任意的，总有，且当时，．则函数在区间上的零点个数是       （     ）

A．6 B．9 C．12 D．13

【答案】C

【解析】因为函数为上的奇函数，所以必有f（0）=0．

由 ，易得： ，故函数周期为8，

∴f（0）=f（-8）=f（8）=0

当时，，有唯一零点.

又函数为奇函数且周期为8，易得：f（）=f（- ）=f(-8)=f(+8)=f(- +8)=f(- +16)

当x=-4时，由 知 ，又f（x）为奇函数，可得f(4)=0,从而可知f(4)=f（-4）=f（12）.

所以共有12个零点．

故选C ．

点睛：本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.注意定义在上的奇函数，必有f（0）=0；定义在上的奇函数且周期为T，则有f（）=0.

12．“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个，都有成立，若现在已知函数是定义域在的“互倒函数”，且当时，成立.若函数（）都恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据是“互倒函数”，得到解析式，从而画出的图像，将问题等价于等价于有两个不等的实根，分为，，，，几种情况讨论，设，先研究的解，再研究的解，从而得到的范围.

【详解】

函数是定义域在的“互倒函数”

当，则，

因为，且当时，，

所以，

所以，

函数都恰有两个不同的零点，

等价于有两个不等的实根，

作出的大致图像，如图所示，

可得，，

，.

设，则

①当时，有两个解，，

其中，，

无解，有两个解，符合题意；

②当时，由得，，

由图可知此时有四个解，不符合题意；

③当时，有两个解，，

其中，，

由图可知此时有四个解，不符合题意；

④当时，由，得，

由图可知有两个解，符合题意；

⑤当时，由，得无解，不符合题意.

综上所述，或符合题意，

而，所以解得或.

即实数的取值范围为.

故选：A.

【点睛】

本题考查符合函数的值域，函数与方程，根据函数的零点求参数的范围，考查了逻辑思维能力和运算能力，分类讨论的思想，属于难题.

二、填空题

13．已知指数函数在上为减函数；，.则使“且”为真命题的实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】由指数函数的单调性和一元二次不等式有解得出命题和，然后取交集即可.

【详解】

解：由函数在上为减函数，故，即

所以命题

由，，得有解，故，即

所以命题

因为“且”为真命题

所以、都是真命题

所以

故答案为.

【点睛】

本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式能成立问题，复合命题的真假性，属于基础题.

14．数学老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在 上函数单调递减；乙：在上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线对称；丁：不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的．

【答案】乙

【解析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.

【详解】

如果甲、乙两个同学回答正确，

因为在上函数单调递增，

所以丙说：在定义域R上函数的图象关于直线对称是错误的，

此时是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾，

所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误，

此时丙正确，则乙就是错误的.

故答案为：乙.

【点睛】

本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用.

15．已知定义域为的函数，，若存在唯一实数，使得，则实数的值是__________.

【答案】0

【解析】通过导数，分别研究和的单调性和最值，得到，，从而得到，得到，，从而得到的值.

【详解】

，，

所以时，，单调递减；

时，，单调递增；

所以.

，，

所以时，，单调递减；

时，，单调递增；

所以.

所以，当且仅当时，等号成立.

而存在唯一实数，使得，

所以可得，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，根据函数的最值求参数的值，属于中档题.

16．已知方程恰有四个不同的实数根，当函数时，实数的取值范围是____.

【答案】

【解析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，将方程根的个数转化为一元二次方程根的分布进行求解即可．

【详解】

函数，

由得，得或，此时为增函数，

由得，得，此时为减函数，

即当时，函数取得极小值，极小值为，

当时，函数取得极大值，极大值为，

当，，且，

作出函数的图象如图：

设，则当时 方程有3个根，当时 方程有2个根，

当或时 方程有1个根，

则方程等价为，

若恰有四个不同的实数根，

等价为有两个不同的根，

当，方程不成立，即，

其中或，

设，

则满足，得，

即，即，

即实数的取值范围是，

故答案为

【点睛】

本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程根的分布，求出函数的导数研究的单调性和极值是解决本题的关键．

三、解答题

17．已知函数，.

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】（1）对求导得到，代入，得到切线的斜率，结合切点，得到切线方程；（2）根据题意，得到，然后利用参变分离，得到，设，利用导数得到的最小值，从而得到的范围.

【详解】

（1）因为，所以函数，

所以，即切点为

所以，

代入，得到，

故所求的切线方程为，

即.

（2）对任意的，，恒成立，

可得，对任意的，恒成立，

，令得或，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

而，，所以，

所以，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以，对任意的恒成立，

设，，则

，

设，

因为，所以，所以单调递增，

即单调递增，而，

所以当，，单调递减，

当，,单调递增，

所以时，取得最小值，为，

所以.

【点睛】

本题考查根据导数的几何意义求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.

18．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，C（x）=x2+2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C（x）=6x+1nx+﹣17（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产M当年全部售完．

（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收人﹣固定成本﹣流动成本

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取e3≈20）

【答案】(1) (2) 当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元

【解析】（1）根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0＜x＜7和当x≥7两种情况得到P（x）与x的分段函数关系式；
（2）当0＜x＜7时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥7时，利用导数求P（x）的最大值，最后综合即可．

【详解】

（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，

，

当时，

.

∴

（2）当时，，

∴当时，的最大值为（万元）.

当时，，

∴，

∴当时，，单调递减，

∴当时，取最大值（万元），

∵，

∴当时，取得最大值万元，

即当年产量约为20万件时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.

【点睛】

本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题

19．若函数，，为常数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若有两个极值点分别为，，不等式恒成立，求的最小值.

【答案】(1)①时，的单调增区间为，无单调减区间； ②时，的单调增区间为，，单调递减区间为；(2).

【解析】（1）对求导，分和进行讨论，研究的正负情况，从而得到的单调区间；（2）由（1）可得，利用韦达定理，得到，，从而对不等式进行化简，得到，再利用导数得到的范围，从而得到的范围.

【详解】

（1）的定义域为，

①当，，所以，的单调增区间为，无单调减区间；

②当时，，解得，，

所以的单调增区间为，，单调递减区间为

（2）因为有两个极值点为，，

不等式恒成立，

所以，且，，

，

故

所以，

设函数，，

，所以单调递减，

所以，

所以得到，

的最小值为

【点睛】

本题考查利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.

20．若定义在上的函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，，满足，则称比更接近.当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由.

【答案】（1）当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；（2）比更接近，理由见解析.

【解析】（1）对求导，分和进行讨论，研究的正负情况，从而得到的单调区间；（2）设，，

利用导数研究出和在的单调性和正负情况，分和进行讨论，得到和的大小关系，从而得到答案.

【详解】

（1）函数，

求导得到，

当时，，函数在上单调递增；

当时，由，得到，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

综上所述，当时， 单调递增区间为；当时， 单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）设，

所以，所以在时单调递减，

又因为

所以当时，当时，.

而，设，则，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

而，所以时，，

所以在时单调递增，且，

所以.

①当时，

设，则

所以在单调递减，.

又因为，所以，

所以

所以比更接近.

②当时，， ，

设，则，

设，，

所以在上单调递减，即在上单调递减，

所以

所以在上单调递减，

所以，即，

所以比更接近.

综上所述，当且时，比更接近.

【点睛】

本题考查利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性和最值，构造函数解决不等式问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题.

21．已知函数，.

（1）若，求实数取值的集合；

（2）证明：

【答案】（1）.（2）见证明

【解析】（1）,讨论当和时函数单调性求最小值即可求解；（2）由（1），可知当时，，即在恒成立. 要证，只需证当时，.构造，证明即可

【详解】

（1）由已知，有.

当时，，与条件矛盾；

当时，若，则，单调递减；

若，则，单调递增.

∴在上有最小值

由题意，∴.

令.∴.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

∴在上有最大值.∴.

∴.

∴，∴，

综上，当时，实数取值的集合为.

（2）由（1），可知当时，，即在恒成立.

要证，

只需证当时，.

令.则.

令.则.

由，得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

即在上单调递减，在上单调递增.

而，，

∴，使得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.

又，，

∴对，恒成立，即.

综上所述，成立.

【点睛】

本题考查导数与函数的最值，利用导数证明不等式，转化化归思想，分类讨论，合理利用（1）的结论证明（2）是关键，是中档题

22．已知函数（）.

（1）若，证明：当时，；

（2）若对于任意的且，都有，求的取值集合.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】（1）将问题转化为当时，，利用导数得到的单调性和最值，进行证明；（2）通过函数端值得到，将问题等价于当时，，对进行分类，通过导数得到的单调性，从而得到符合要求的.

【详解】

（1）当时，，

要证当时，，

即证当时，

令，

当时，，在内单调递减

当时，，在内单调递增，

故.证毕.

(2)先分析端值，当时，，，

要使，需有，即；

当时，，，

要使，需有；

故必须有.

由知其分子恒正，

令，

于是问题等价于当时，；

当时，.

注意到.

①当时，

此时当时，，在单调递减，

于是，这不符合题意；

②当时，，得，.

（i）当时，，，在单调递增，

结合可知符合题意；

（ii）当时，，此时当时，

于是在在单调递减，

故在内，这不符合题意；

（iii）当时，，此时当时，

于是在在单调递减，

故在内，这不符合题意；

综上：符合题意的取值集合为.

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.