2020届江苏省高邮市高三上学期12月阶段性学情联合调研数学（理）试题（解析版）

江苏省高邮市2020届高三12月阶段性学情联合调研

数学理试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．己知全集U＝{﹣1，0，2}，集合A＝{﹣1，0}，则＝       ．

答案：{2}

考点： 补集及其运算

解析：∵全集U＝{﹣1，0，2}，集合A＝{﹣1，0}，

      ∴＝{2}．

2．己知复数(i为虚数单位)，复数z虚部为       ．

答案：

考点：复数

解析：，故虚部为．

3．设向量＝(l，k)，＝(﹣2，k﹣3)，若∥，则实数k的值为       ．

答案：1

考点：向量平行的坐标运算

解析：∵向量＝(l，k)，＝(﹣2，k﹣3)，且∥，

      ∴，解得k＝1．

4．函数＝的单调减区间为       ．

答案：(，)

考点：利用导数研究函数的单调性

解析：∵＝，∴，

      当时，，故原函数的单调减区间为(，)．

5．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为45º，且过点(3，1)，则双曲线的焦距等于       ．

答案：8

考点：双曲线及其性质

解析：由题意知：，解得，故，∴焦距2c＝8．

6．己知偶函数在[0，＋∞)单调递减，＝0，若＞0，则x的取值范围是       ．

答案：(，)

考点：函数的单调性与奇偶性

解析：由于函数是偶函数，且＝0，则＝0，又在[0，＋∞)单调递减，

     故在(﹣∞，0]单调递增，∴当时，，

     要使＞0，则，解得，故x的取值范围是(，)．

7．如图，己知棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥M—A1AB的体积       ．

答案：

考点：棱锥的体积

解析：．

8．在△ABC中，如果sin A：sin B：sin C＝2：3：4，则sin C＝       ．

答案：

考点：正弦定理、余弦定理

解析：∵sin A：sin B：sin C＝2：3：4，

      ∴a：b：c＝2：3：4，

      设a＝2x，b＝3x，c＝4x，

      ∴，

      ∴sinC＝．

9．己知等比数列的前n项和为，若＝7，＝63，则＝       ．

答案：448

考点：等比数列的性质

解析：∵＝7，＝63，则，

      ∴，即＝448．

10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域的边界为x2＋y2＝4，河岸线所在直线方程为x＋y﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为       ．

答案：﹣2

考点：对称点求法，两点间距离公式的计算

解析：设点Q与点O关于直线x＋y﹣6＝0对称，连接PQ，则PQ﹣2即为所求最小值，

      首先求得点Q(6，6)，则PQ＝，

      ∴PQ﹣2＝﹣2，则将军行走的最短路程为﹣2．

l1．在平行四边形ABCD中，己知AB＝6，AD＝5，，＝﹣18，则＝       ．

答案：15

考点：平面向量的数量积

解析：∵

      又＝﹣18，AB＝6，AD＝5，

      ∴，故，

      ∴

                                                  ．

12．己知x (0，3)，则的最小值为       ．

答案：

考点：基本不等式

解析：，

      ∵，∴

      ∴

                                     ，

      当且仅当x＝1时，取“＝”．

13．己知△ABC的面积为＋1，AC＝2，且＝1，则tanA的值为       ．

答案：

考点：三角恒等变换、正弦定理

解析：∵＝1，

      ∴，

      ∴4cosAsinB＋3cosBsinA＝sinAsinB，

      ∴3sinC＝sinB(sinA﹣cosA)，故＝sinA﹣cosA，

      ∵△ABC的面积为＋1，则，代入上式得：

      ，∵b＝AC＝2，

      ∴，即，

      解得．

14．己知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y＝﹣2的对称点在kx﹣y﹣3＝0的图象上，则实数k的取值范围是       ．

答案：(，)(1，)

考点：函数与方程

解析：直线kx﹣y﹣3＝0关于直线y＝﹣2的对称直线为y＝﹣1﹣kx，

      故可将题意转化为直线y＝﹣1﹣kx与函数有且仅有两个交点，

      当x＝0时，显然不符合题意，当x≠0时，参变分离得：，

      即方程有两个不相等的实数根，通过数形结合即可求得实数k的取值范围是k＞1或k＜，即(，)(1，)．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

若函数(＞0，0＜＜)的图象经过点(0，)，且相邻的两条对称轴之间的距离为6．

（1）求函数的解析式；

（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当x [﹣1，5]时，的值域．

解：(1) 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为6，

记的周期为，则，

又，.

;

的图象经过点，

，，

函数的解析式为

(2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，

由(1)得，，

函数的解析式为； 

当时，，则.  

综上，当时，的值域为.

16．（本题满分14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD．

（1）求证：PB //平而AEC；

（2）若四边形ABCD是矩形且PA＝AD，求证：AE⊥平面PCD．

证明:（1）连接交于，

因为是平行四边形，所以是的中点，

因为为的中点，所以//

又因为平面，平面

所以//平面

（2）因为且是的中点，所以

又因为平面，平面，所以

因为四边形是矩形，所以，因为平面且

所以平面      又因为平面，所以

平面且

所以平面

17．（本题满分14分）

如图①，某半径为lm的圆形广告牌，安装后其圆心O距墙壁1.5m.为安全起见，决定对广告牌制作一合金支架．如图②，支架由广告牌所在圆周上的劣弧MN，线段PA，线段PB构成．其中点P为广告牌的最低点，且为弧MN中点，点A，B在墙面上，PA垂直于墙面．兼顾美观及有效支撑，规定弧、所对圆心角及PB与墙面所成的角均为，[，]．经测算，PA、PB段的每米制作费用分别为a元、a元，弧MN段侮米制作费用为3a元．

（1）试将制作一个支架所需的费用表示为的函数；

（2）求制作支架所需费用的最小值．

解：（1）在扇形OMN中，劣弧MN的长度为

在中，，

所以所需费用，

（2）

    当时，，在区间上单调递减；

    当时，，在区间上单调递增；

所以当时，有最小值

答：所需费用的最小值元．

18．（本题满分16分）

如图，己知椭圆C：过点(1，)，离心率为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线线l与椭圆相交于M，N两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）记△AFM，△BFN的而积分别为S1，S2，若，求k的值；

（3）己知直线AM、BN的斜率分k1，k2，求的值．

解:（1）设椭圆的焦距为.离心率为

，  解得. 

则椭圆的方程为.

(2)      设点

  ，整理可得

即，

代入坐标，可得即，又点在椭圆C上

，解得

直线的斜率

（3）直线的方程为

由消去得

又

19．（本题满分16分）

己知函数．

（1）当a＝1时，求在x＝1处的切线方程：

（2）当a＞0时，讨论的单调性；

（3）若有两个极值点，(≠)，且不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）当时，，　，

　　　所以在处的切线方程为，即

　 （2）定义域为，

       ①若时，，，

所以单调递增区间为，无减区间；

　　　 ②若，则

　　　　　当时，；当时，

所以单调递增区间为，无减区间；

　　　 ③若时，由，得或

　　　　　当，或时，

　　　　　当时， 　　

　　　　　所以单调递增区间为，

　　　　　　单调递减区间为

（3）由（1）知，，且，

不等式恒成立等价于

恒成立

又

所以，

令（），则，

所以在上单调递减，

所以，所以

20．（本题满分16分）

若数列满足(n)，则称为“螺旋递增数列”．

（1）设数列是“螺旋递增数列”，且，(n)，求；

（2）设数列是“螺旋递增数列”，其前n项和为，求证：中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；

（3）设数列是“螺旋上升数列”，且，(n)，记数列的n项和为．问是否存在实数t，使得对任意的n恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（1），，是以为首项4为公比的等比数列，

，，

∵数列是“螺旋递增数列”，

（2）由数列是“螺旋递增数列”得，故，

∴中存在连续三项成等差数列；

（注：给出具体三项也可）                                           

假设中存在连续四项成等差数列，

则，即，

当时，，①

当时，，②

由数列是“螺旋递增数列”得，③

①②与③都矛盾，故假设不成立，即中不存在连续四项成等差数列.

（3）∵，，是以为首项为公差的等差数列，

，又数列是“螺旋递增数列”，

故，

，

①当时，

，，

又恒成立，恒成立，.

②当时，

，，

又恒成立，恒成立，.  

综上①②，存在满足条件的实数，其取值范围是.

数学附加试卷

                                （满分40分，考试时间30分钟）

21A．（本小题满分10分）

  己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·

  （1)求实数a，b的值：

  （2）求矩阵A的逆矩阵．

解：（1）因为 ，

所以        所以 ．

（2） ，

．

21B.（本小题满分10分）

    己知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合若直线l的极坐标

方程

(1)把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；

 (2)己知P为曲线C:为参数）上点，求P到直线l的距离的最小值．

解：(1) 直线l的极坐标方程ρsin＝2，则

ρsinθ－ρcosθ＝2，即ρsinθ－ρcosθ＝4，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0.

(2) 因为P为曲线上一点，

所以P到直线l的距离[来源:学科网ZXXK]

所以当cos(θ＋φ)＝1时，d的最大值为

22．（本小题满分10分）

    如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，

AA1＝2，点P是棱BB1上点，满足

（l）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；[来源:Z*xx*k.Com]

 (2)若二面角P一A1C－B的余弦值为，求的值．

解：以A为坐标原点O，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.

因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，P(1，0，2λ)．

(1) 由λ＝得，＝，＝(1，0，－2)，＝(0，1，－2)，

设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

由得

不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，

从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2，2，1)．

设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，

则sinθ＝|cos〈，n1〉|＝||＝，

所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为.

(2) 设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

＝(1，0，2λ－2)，

由得

不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，

所以平面PA1C的法向量为n2＝(2－2λ，2，1)．             

则cos〈n1，n2〉＝.

因为二面角PA1CB的余弦值为，

所以＝，

化简得20λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝或λ＝

0≤λ≤1   

23．（本小题满分10分）

    如图，F是抛物线y2＝2px(p > 0)的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于

两点，交抛物线的准线于点H，其中．过点H作y轴的垂线

交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q.

    （1)求p的值；

（2)求四边形APBQ的而积S的最小值．

解答：（1）设方程为，

与联立，消去整理得

　　　　 所以，得（舍去）或

（2）由（1）知抛物线方程为，，准线方程为

　　 因为直线与坐标轴不垂直，所以设方程为，

由得，

所以

令，则，所以，

方程为

由得，

所以，，代入，得

所以

到直线的距离为

到直线的距离为

所以四边形的面积 

令，则

当时，，单调递减

当时，，单调递增

所以，当时，有最小值，的最小值为