2020届江西省赣州市石城中学高三下学期第三次（线上）考试数学（理）试题（解析版）

石城中学2020届高三下学期第三次（线上）考试
理科数学试卷
满分：150分 时间：120分钟
命题范围：高考范围 下次周考范围：高考范围
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合， 则（ ）
A． B． C． D．
2．设且则 （ ）
A． B． C． D．
3．设复数，则的二项展开式的第项是（ ）
A． B． C． D．
4．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则关于函数的性质表述正确的是（ ）
A．定义域为 B．偶函数
C．周期函数 D．在定义域内为减函数
6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ）
附：若，则，.

A．1193 B．1359 C．2718 D．3413
7．已知函数的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
8．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则( )
A． B． C． D．
9．设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
10．（错题再现）已知件产品中有件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，则该数列的前10项和为 (　　)
A．2101 B．1067 C．1012 D．2012
12．（错题再现）设函数， 其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

二、 填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）
13．在平面内，三角形的面积为，周长为，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为，表面积为，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径__________．
14．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面上），圆锥底面直径为，高为10cm.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g．（取，精确到0.1）

15．函数，且，，则的取值范围是__________．
16．已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是____．

三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．设a，命题p：x，满足,
命题q：x，.
(1若命题是真命题，求a的范围；
（2）为假，为真，求a的取值范围．


18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为及以上的花苗为优质花苗．
（1）求图中的值，并求综合评分的中位数．
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
（3）填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关．

优质花苗
非优质花苗
合计
甲培育法



乙培育法



合计




附：下面的临界值表仅供参考．

















（参考公式：，其中．）


19．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

20．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．

21．已知函数.
(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.

选修4-5：不等式选讲
23．已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围.

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合， 则（ D ）
A． B． C． D．
【详解】
∵，＝，
2．设且则（ C ）
A． B． C． D．
【解析】
试题分析：由已知得，，去分母得，，所以
，又因为，
，所以，即，选
3．设复数，则的二项展开式的第项是（ A ）
A． B． C． D．
【解析】
∵，
所以（1+z）9＝（1+i）9
展开式的第7项是：C9613i6＝﹣84
4．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ B ）
A． B．
C． D．
【解析】
因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．
5．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则关于函数的性质表述正确的是（ C ）
A．定义域为 B．偶函数
C．周期函数 D．在定义域内为减函数
【解析】
由于表示不超过的最大整数，如，，则，所以定义域为错误；当时，，，，，是偶函数错误，由于，所以函数的的图象是一段一段间断的，所以不能说函数是定义域上的减函数，但函数是周期函数，其周期为1，例如任取，则，，则 ，则 。

6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为（ B ）
附：若，则，.

A．1193 B．1359 C．2718 D．3413
【解析】
由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 ，
则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为 .
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ