2020届全国Ⅰ卷高三高频错题模拟卷数学（文）（解析版）

2020届全国Ⅰ卷高三高频错题模拟卷

数学文

满分：150分  时间：120分钟

姓名：            班级：            考号：           

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共12题，每小题5分，共60分）

1．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.6364】

集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.6818】

已知曲线在处的切线l与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A.2 B. C. D.

3．【2019年河北省名校试题】【年级得分率：0.4318】

函数的图象大致为（    ）

A B C D

4．【2019年山西省名校试题】【年级得分率：0.3409】

过双曲线C：的右焦点F作一条渐近线的垂线，与C左支交于点A，若，则C的离心率为（    ）

A. B.2 C. D.5

5．【2019年江西省名校试题】【年级得分率：0.5484】

已知函数，其中e是自然对数的底数若，则实数a的取值范围是（    ）

A.[-1，] B.[-，1] C.[-1，] D.[-，1]

6．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.7097】

若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为（    ）

A  B.  C.  D.

7．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.7419】

已知函数 的图象如图所示，则的可能取值为（    ）

A.  B.

C.  D.12

8．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.5833】

已知a是函数的极小值点，则a=（    ）

A．-4 B．-2 C．4 D．2

9．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.1724】

如图，一个正四棱锥–AD和一个正三棱锥–的所有棱长都相等,F为棱的中点，将、,、，、分别对应重合为P,B,C,得到组合上体.关于该组合体有如下三个结论：①AD⊥SP；②AD⊥SF；③AB//SP.其中错误结论的个数是(    )

A.0 B.1 C.2 D.3

10．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.1935】

已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F，且F到准线的距离为2，直线：x-my-=0与抛物线C交于P、Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若|QF|=3，

则=（    ）

A  B. C. D.

11．【2019年湖北省名校试题】【年级得分率：0.3333】

已知函数的导函数，且，数列是以为公差的等差数列，若，则=（    ）

A．2016 B．2015 C．2014 D．2013

12．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.2143】

已知函数f (x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是(    )

A．[－，]  B．(－，)

C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－∞，－)

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）

13．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.9655】

已知向量则=____.

14．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.2273】

已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为_________.

15．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.2258】

若双曲线c：-=1（a>0，b>0）的一条渐近线被圆x2+(y+2)2=4所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为______.

16．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.0387】

已知数列{an}满足a1=1；（nN*），则a2020-a2018=_______.

=_______.

三、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）

17．【2019年山东省名校试题】【年级得分率：0.3106】

已知数列的前n项和为.

（1）求证：数列是等差数列;

（2）若，设数列的前n项和为，求

18. 【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.5230】

某校高三文科(1)班共有学生45人,其中男生15人,女生30人在一次地理考试后,对成绩作了数据分析(满分100分),成绩为85分以上的同学称为“地理之星”,得到了如下图表:

如果从全班45人中任意抽取1人,抽到“地理之星"的概率为

（1）完成“地理之星”与性别的2×2列联表, 并回答是否有90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关?

（2）若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为90,方差为7.2,请你判断这些同学中是否有得到满分的同学,并说明理由.(得分均为整数)

参考公式:K2=,其中 n=a+b+c+d .

临界值表：

19．【2019年广东省名校试题】【年级得分率：0.4697】

如图所示，四棱锥的底面是梯形，且AB⊥平面PAD，E是PB中点，

（1）求证：CE⊥AB；

（2）若CE=AB=2，求三棱锥的高.

20．【2019年安徽省名校试题】【年级得分率：0.2367】

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，P，Q为椭圆C上两点，圆O：.

（1）若PF⊥x轴，且满足直线AP与圆O相切，求圆O的方程；

（2）若圆O的半径为2，点P，Q满足，求直线PQ被圆O截得弦长的最大值.

21．【2019年河南省名校试题】【年级得分率：0.2385】

已知函数(e为自然对数的底数).

（1）讨论函数的单调性; .

（2）当时,若恒成立，求实数a的取值范围，

22．【2019年湖南省名校试题】【年级得分率：0.2411】

已知函数f (x)＝1＋ln x－ax2.

（1）讨论函数f(x)的单调区间；

（2）证明：xf (x)<·ex＋x－ax3.

参考答案

1．【答案】A

【解析】因为 所以．

2．【答案】D

【解析】由题意得，，所以，故选D．

3．【答案】A

【解析】记，，，由，，且知，∴，，，

∴为正三角形，，∴，选A．

4．【答案】B

【解析】∵，

∴，∴

∴由得，∴，故选:B．

5．【答案】C

【解析】本题主要考查函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.

设g（x）=x3-2x+1+ex-，则g（-x）=（-x）3-2（-x）+e-x-

=- x3-2x+ -ex=-g（x），

所以函数g（x）是奇函数。

因为g'（x）=3x2-2+ ex +≥3x2-2+2=3x2≥0，

所以g（x）是R上的增函数。

又f（x）=g（x）+1，所以不等式f（a-1）+f（2a2）≤2等价于g（a-1）+1+

g（2a2）+1≤2，

即g（2a2）≤-g（a-1），即g（2a2）≤g（1-a），

所以2a2≤1-a，解得-1≤a≤，

故选C.

6．【答案】B

【解析】

设三棱锥的侧棱长为a，将该三棱锥补成棱长为a的正方体，则棱长为a的正方体的体对角线与三棱锥外接球的直径相等.因为三棱锥外接球的表面积为4π，所以其外接球的半径为1，所以a=2，解得a=，

故选B.

7．【答案】B

【解析】本题主要考查函数的奇偶性、函数的图象等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.

由题图知，函数f（x）为偶函数.

因为函数y=e-|x|为偶函数，所以函数y=sin Asin(x+)为偶函数，

所以=kπ+（kZ）.因为0<<π，所以=，

所以f（x）=Asin(x+)·e-|x|=Acos（x）·e-|x|.

由题图知

,即∴，

所以A

故选B

8．【答案】D

9．【答案】A

【解析】由于正四棱锥-AD和正三棱锥-S所有的棱长都相等,可以叠放在一起,得到组合体PAD-SBC,把其放在两个相同的正四棱柱拼成的几何体内,如图所示，点P对应左侧正四棱柱上底面的中心,点S对应右侧正四棱柱上底面的中心,由图可知拼成的组合体PAD-SBC是一个三棱柱，所以SP//AB,设E为AD的中点,连接PE,EF,FS,可知AD⊥SP,AD⊥平面PEFS,所以AD⊥SF,故三个结论都正确,选A.

10．【答案】C

【解析】

由焦点F到准线l的距离为2，得p=2，即y2=4x.设P（xp，yp），Q（xQ，yQ），

如图作QQ'⊥于l于点Q'，PP'⊥l于点P'，则QQ'//PP'.因为|QF|=3=xQ+1，

所以xQ =2.联立得，消元化简得

x2-(4m2+2)x+5=0，由根与系数的关系得xQ xp=5,

所以xp，所以=====

故选C

11．【答案】B

12．【答案】A

13．【答案】5

【解析】由己知得∣∣=∣∣=,且=0,所以∣∣==.

14．【答案】

【解析】易知球心在两四棱锥顶点连线的中点，设体积较小的锥体的高为，则

解得，半径为，所以表面积为

15．【答案】

【解析】本题主要考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系，考查考生分析、解决问题的能力，逻辑思维能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

解法一不妨设渐近线的方程为y=x，即bx-ay=0，圆的圆心为（0，-2），半径为2.因为截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为，

结合点到直线的距离公式得=，即，

所以双曲线C的离心率e==

解法二不妨设渐近线过一、三象限，由题意知圆过原点O且半径为2，如图所示，记圆的圆心为B，渐近线与圆的另一个交点为A，连接AB，则△OAB为正三角形，所以该渐近线的倾斜角为，即渐近线的斜率k==tan=，

所以双曲线c的离心率e====

16．【答案】

【解析】本题主要考查数列的递推关系式、裂项相消法求和，考查考生的运算求解能力

先根据数列{an}。的递推关系式得n+1-n-1=2（n≥2），即可得到2020-2018的值及数列{an}的奇数项和偶数项分别是公差为2的等差数列，然后利用裂项相消法求解.

∵（nN*），当n≥2时，n-1+n=2n，

∴n+1-n-1=2，∴2020-2018=2，数列{n}的奇数项和偶数项分别是公差为2的等差数列，又1=l，2=3

∴+++…++=2××()+=-=

17．【答案】本小题主要考查与的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

解：（Ⅰ）证明：因为当时，，

所以．

所以,

因为所以，所以，

所以．

所以是以为首项，以1为公差的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以.

∴

18．【答案】

(1)易知“地理之星”总人数为45×=15,得到2×2列联表如下:

则所以没有90%以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关.

(2)没有得满分的同学.记各个分值由高到低分别为则

①若有两个及以上得满分，

则=[+++…+]>>7.2,不符合题意.

②若恰有一个满分,为使方差最小,则其他分值需集中分布于平均数90的附近,且保证平均值为90,则有10个得分为89,其余4个得分为90,此时方差取得最小值

[+4×+10×]=>7.2,与题意方差为7.2不符.

综上,这些同学中没有得满分的同学.

(也可以从一个满分讨论人手,推导一个不符合题意,两个更不符合题意)

19．【答案】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．

因为点是中点，

所以且．

又因为且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以

所以

（Ⅱ）解：设点为的中点，连结，如图所示，

因为，

由（Ⅰ）知，

又因为，所以，

所以

所以为正三角形，

所以，且．

因为平面，，

所以平面．

因为平面，

所以，

又因为，所以平面．

所以三棱锥的高为．

20．【答案】（Ⅰ）因为椭圆的方程为，所以，

因为轴，所以，而直线与圆相切，根据对称性，可取，则直线的方程为，即.

由圆与直线相切，得，所以圆的方程为

（Ⅱ）易知，圆的方程为.

①当轴时，，所以，

此时得直线被圆截得的弦长为. 

②当与轴不垂直时，设直线的方程为，

，

首先由，得，

即，所以（*）.

联立，消去，得，在时

代入（*）式，得.

由于圆心到直线的距离为，

所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.

综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为.

21．【答案】(1)由已知,得ƒ'()=

若k>0,当∈(-∞,1)时,ƒ'()>0,函数ƒ()单调递增，

当∈(1,+∞)时,ƒ'()<0,函数ƒ()单调递减;

若k<0,当∈(-∞,1)时,ƒ'()<0,函数f(x)单调递减，

当∈(1,+∞)时,ƒ'()>0,函数ƒ()单调递增.

(2)当k=1,≥0时ƒ()+ƒ()+≤0等价于≤0，

当=0时,a∈R.当>0时,得a≤,设g()=a,则g()≥0恒成立，g'()=a,若a≤2,则g'()=,函数g()单调递增，所以g()>0,所以a≤2符合题意;若a>2,令g'()=a=0,则(*),存在>0,使得=>1,即=ln为方程(*)的解,所以当∈(0,)时,g'()<0,函数g()单调递减,当∈(,+∞)时,g'()>0,函数g()单调递增,所以必存在∈(0,),使得g()<0,与g()≥0恒成立矛盾.所以a>2不合题意,舍去.

综上可知,a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2].

22．【答案】

(1)   f (x)＝1＋ln x－ax2的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－2ax＝.

所以当a≤0时，f′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝.

即当x∈时，f′(x)>0，所以f (x)的单调递增区间为.

当x∈时，f′(x)<0，f (x)的单调递减区间为.

(2)证明：要证xf (x)<·ex＋x－ax3，即证xln x<·ex，也即<.

令g(x)＝·(x>0)，

g′(x)＝·＝·，

当0<x<2时，g′(x)<0，g(x)单调递减；

当x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

所以g(x)的最小值为g(2)＝.

令k(x)＝，则k′(x)＝，

当0<x<e时，k′(x)>0，k(x)单调递增；当x>e时，k′(x)<0，k(x)单调递减，

所以k(x)的最大值为k(e)＝，

因为<，所以k(x)<g(x)，即<.

所以xf (x)<·ex＋x－ax3.