2020届四川省高三上学期联合诊断考试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省高三上学期联合诊断考试数学（文）试题

一、单选题

1．已如集合 ，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用集合的交集运算求解

【详解】

由可得中，则

答案选A

【点睛】

本题考查集合的交集运算，整体简单，需注意数集与范围集合相交最终为数集

2．若 ，则

A． B． C．-1 D．1

【答案】D

【解析】需对运算公式进行变形，由，再进行化简即可

【详解】

由

答案选D

【点睛】

本题考查复数的基本运算，处理技巧在于变形成除法运算形式

3．从中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由题意，末尾是0，2，4，分类求出相应的偶数，即可得出结论．

【详解】

由题意，末尾是0，2，4
末尾是0时，有4个；末尾是2时，有3个；末尾是4时，有3个，所以共有4+3+3=10个
故选：C．

【点睛】

本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

4．某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量 的最小值为

A．6 B．12 C．18 D．24

【答案】A

【解析】从系统抽样和分层抽样的特点考虑，系统抽样相当于等间距抽样，分层抽样相当于按比例抽样

【详解】

由题已知，总体样本容量为36人，当样本容量为时，系统抽样的样距为，分层抽样的样比为，则采用分层抽样抽取的足球运动员人数为，篮球运动员人数为，乒乓球运动员人数为，可知是6的整数倍，最小值为6

答案选A

【点睛】

本题考查了分层抽样和系统抽样的应用问题，解题时应对两种抽样方法进行分析和讨论，以便求出样本容量

5．设函数，若，则

A.1或 B. 或 C. D.l

【答案】B

【解析】根据分段函数的表达式求出f（﹣1），进而求出f（a）＝1，解方程即可．

【详解】

f（﹣1），

则由f（a）+f（﹣1）＝3，得f（a）＝﹣f（﹣1）+3＝3﹣2＝1，

若a＞0，则f（a）＝|lna|＝1，即lna＝1或lna＝﹣1，即a＝e或a，

若a＜0，则f（a）＝（）a＝1，

则a＝0不成立，

故a＝e或a，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式求值是解决本题的关键．

6．在等比数列 中， ，若 ，则

A．5 B．6 C．9 D．10

【答案】D

【解析】先求出公比，再根据通项公式直接求值

【详解】

由，

，

答案选D

【点睛】

本题考查等比数列基本量的求法，先求，再求通项，属于基础题型

7．设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图像可能为（    ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】若为偶函数，则为奇函数，故排除B、D.

又在上存在极大值，故排除A选项，

本题选择C选项.

8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】依据流程图中的运算程序，可知第一步，则；第二步程序继续运行，则；第三步程序继续运行；则，运算程序结束，输出，应选答案C。

9．若函数 有唯一的零点，则实数 的值是

A．-4 B．2 C．2 D．-4或2

【答案】B

【解析】由表达式可判断为偶函数，又函数存在唯一零点，可求出值，再对值进行分类讨论判断是否符合题意即可

【详解】

分析表达式特点可知，函数为偶函数，

有唯一一个零点，，即，解得或

当时,, 在上单调递增,符合题意; 

当时,,作出和的函数图象如图所示:

由图象可知有三个零点,不符合题意; 

综上,

答案选B

【点睛】

本题考法为结合函数零点存在情况求参，分析函数特点求出值，再验证值的合理性，最后的处理步骤用到了数形结合思想，是处理零点问题常用基本思想

10．设双曲线 的左焦点为 ，直线 过点且与双曲线 在第二象限交点为 ， ，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为

A． B． C． D．5

【答案】D

【解析】根据题意，画出图像，结合双曲线基本性质和三角形几何知识进行求解即可

【详解】

如图所示：

直线 过点

，半焦距

为中点，

又为中位线

由点到直线距离公式可得，

由勾股定理可得：

再由双曲线第一定义可得：=2，

双曲线的离心率

答案选D

【点睛】

本题考查双曲线离心率的求法，突破口在于利用找出中点A，结合圆锥曲线基本性质和几何关系解题是近年来高考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线

11．记不等式组 ，表示的平面区域为 .下面给出的四个命题： ； ； ； 其中真命题的是：

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义求解z=x+y，z1＝2x﹣y，z2，z3＝x2+y2，的范围，判断命题的真假即可．

【详解】

实数x，y满足，由约束条件作出可行域为D，如图阴影部分，

A（﹣2，0），B（0，2），C（﹣1，3），z=x+y经过可行域的点A及直线BC时分别取得最值，可得：z∈[﹣2，2]，所以错误；

z1＝2x﹣y经过可行域的B、C时分别取得最值，可得：z1∈[﹣5，﹣2]，所以正确；

z2，它的几何意义是可行域内的点与（1，﹣1）连线的斜率，

可得：DA的斜率是最大值为：；

BD的斜率取得最小值为：；z2∈[，]；所以错误；

z3＝x2+y2，它的几何意义是可行域内的点与（0，0）连线的距离的平方，

最小值为原点到直线y=x+2的距离的平方：（）2，最大值为OC的平方：（﹣1﹣0）2+（3﹣0）2＝10，z3∈[，10]．所以正确；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

12．已知定义在 上的函数 满足；函数 的图象关于直线 对称，且当 时， （其中是函数的导函数）恒成立，若 ，则 的大小关系是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0），x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．由此能求出结果．

【详解】

∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，

∴y＝f（x）关于y轴对称，

∴函数y＝xf（x）为奇函数．

∵[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x），

∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x）＜0，函数y＝xf（x）单调递减，

当x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．

∵，

，

，

∴，

∴a＞b＞c，

故选：A．

【点睛】

本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意导数性质、函数性质的合理运用，属于中档题．

二、填空题

13．已如向量 ，若 ，则________

【答案】

【解析】利用向量的坐标运算分别表示出和的表达式，再根据求出值即可

【详解】

，，，由可得

，解得

答案为：

【点睛】

本题考点为利用向量的坐标运算表示模长和数量积，进行基本运算，需要加以理解的是模长和数量积都是数值的具体体现

14．已知等差数列，的首项 ，公差 .其前 项和为 ，若 ，则 ________

【答案】5

【解析】根据题意，求出数列的通项公式，再根据算出值

【详解】

由 ，公差，得，再由，可得

答案为：

【点睛】

本题考查等差数列基本量的求法，需熟记公式

15．已知为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若 ，则 ________

【答案】8

【解析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a＝20，再由周长，即可得到AB的长．

【详解】

椭圆1的a＝5，

由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，

则三角形ABF2的周长为4a＝20，

若|F2A|+|F2B|＝12，

则|AB|＝20﹣12＝8．

故答案为：8

【点睛】

本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．

16．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数，的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是________

【答案】

【解析】先求出A、B、C的坐标，设出点D的坐标，再根据矩形ABCD得出，利用向量坐标运算求出点D的坐标．

【详解】

由题意可得，A、B、C点坐标分别为（，2），（4，2），（4，），

设D（m，n），

再由矩形的性质可得，

故（m，n﹣2）＝（0，2），

∴m0，n﹣2．

解得m，n，故点D的坐标为（，），

故答案为：（，）．

【点睛】

本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，向量相等的条件，属于基础题．

三、解答题

17．我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照 …… 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）若该市政府看望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由。

【答案】（1）0.30；（2）估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准

【解析】（1）利用频率分直方图中的矩形面积的和为1求即可

（2）先大体估计一下所在的区间，再根据区间的频率之和为0.85，求解的值

【详解】

（1）由直方图，可得 ，

解得.

（2）因为前6组频率之和为

而前5组的频率之和为

所以.

由

解得.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准.

【点睛】

本题考察了频率分布直方图中各个基本量的计算关系，需熟记的是，频率分布直方图中矩形面积之和为1；在横坐标上需找具体某一点计算符合条件概率值的方法一般为：先通过估算确定具体所在区间，再根据矩形面积为概率值的特点，列出公式进行求解

18．的内角的对边分别为 ，已知，且为锐角。

（1）求；

（2）若 ，求 面积的最大值

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）采用三角函数基本公式对进行化简，再结合为锐角，可求得

（2）采用余弦定理，结合重要不等式与正弦定理表示的面积公式求解即可

【详解】

（1）因为 ，

所以 ，又，

所以 ，即，

因为为锐角，所以，

所以 ，所以

（2）由（1）知，由余弦定理得

，即

因为 所以 （当且仅当 时取等号）

所以 （当且仅当 时取等号），

故 的面积的最大值是

【点睛】

本题主要考查了利用三角函数的基本公式进行化简、正弦定理、余弦定理解三角形的综合应用，问题（1）中涉及三角代换问题，需熟记

（2）问一般采用余弦定理，面积公式和不等式性质进行范围求法，重要不等式应用较为广泛

19．已如长方形 中， ，M为的中点，将 沿 折起，使得平面 平面，

（1）求证： ；

（2）若点 是线段 上的中点，求三棱锥与四棱锥的体积的比值 .

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）计算AM，BM，根据勾股定理的逆定理得出AM⊥BM，由面面垂直的性质得出BM⊥平面DAM，从而BM⊥AD；

（2）过D作DG⊥AM，则DG⊥平面ABCM，再利用中位线分别计算三棱锥E﹣ABM与四棱锥D﹣ABCM的高与底面积的比，从而得出体积比．

【详解】

（1）因为长方形中，，为的中点，

所以，

所以，

因为平面 平面，

平面 平面，平面 ，

所以 平面 ，

因为 平面，

所以

（2）过作 于，连，取中点，连结，因为平面 平面 ，平面 平面，

所以 平面，

因为为的中点，

所以 ，

所以平面 ，

由已知可得， ，

所以三棱锥 与四棱锥 的体积的比值为

【点睛】

本题考查了面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．

20．已知函数

（1）当 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数 的单调区间和极值

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）把a＝1代入原函数解析式中，求出函数在x＝1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；

（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．

【详解】

（1）当 时 ，则

，所以 ，

又

所以曲线 在 处的切线方程为 ，

即

（2）由 得 .

①当时，，函数在 上单调递增，函数无极大值，也无极小值；

②当时，由 得或 （舍负），于是当 时、 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，函数 在 处取得极小值 ，无极大值.

综上所述：

当时，函数的单调递增区间为，函数既无极大值也无极小值；

当a>0时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，函数有极小值，无极大值

【点睛】

本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论的数学思想，属中档题．

21．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于 两点，又过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点。

（1）证明：直线的斜率之积为定值；

（2）求面积的最小值

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）设直线方程为，通过联立直线与抛物线方程得到，用韦达定理表示出，再利用导数的几何意义表示出两切线的乘积，即可解得

（2）先采用设而不求得方法联立和得

再利用弦长公式表示出，结合点到直线距离公式表示出三角形面积，分析因式特点，即可求解

【详解】

（1）证明：由题意设 的方程为 ，

联立 ，得 因为 ，

所以设 ，则

设直线 的斜率分别为 ，

对 求导得 ，

所以 ，

所以，（定值）

（2）解：由（1）可得直线 的方程为

①

直线 的方程为

②

联立①②，得点 的坐标为，

由（1）得 ，

所以 .

于是 ，

点 到直线 的距离，

所以 ，

当，即时，的面积取得最小值

【点睛】

本题主要考查了用解析法解决过定点的直线与抛物线的基本关系量的证明，抛物线中三角形面积的最值求法。解题过程中结合导数几何意义求解斜率之积大大减小了运算步骤，（2）中设而不求的基本方法也使得点的求解过程变得简单；在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具，要求考生要能熟练运用

22．在极坐标系中，已如圆 的圆心 ，半径 .

（1）求圆的极坐标方程；

（2）若 ，直线 的参数方程 （ 为参数）直线交用于 两点，求长的取值范围

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用余弦定理表示出三边关系即可表示出圆的极坐标方程

（2）联立直线的参数方程和圆的标准方程表示成关于的一元二次方程，用韦达定理表示出根与系数的关系，结合弦长公式进行求解

【详解】

如图：

设圆上任意一点坐标为P，由余弦定理得：

整理得：（经检验，当圆心极点与圆上的点三点在一直线上时也适合）.

所以圆的极坐标方程为

（2）因为.

所以圆的直角坐标方程为 ，

将直线 的参数方程代入圆的直角坐标方程得：

，

整理得：，设 为该方程的两根，

所以，

所以 ，因为 ，所以

所以

【点睛】

本题主要考查了圆的极坐标方程的求法，用直线的参数方程来求解圆的弦长的问题，用直线来表示与圆锥曲线的弦长可表示为

23．

设函数．

（1）解不等式；

（2）若，使得，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】1把用分段函数来表示，令，求得x的值，可得不等式的解集

2由1可得的最小值为，再根据，求得m的范围．

【详解】

1函数

，

令，求得，或，

故不等式的解集为，或；

2若存在，使得，即有解，

由(1)可得的最小值为，

故，

解得．

【点睛】

绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．