2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省资阳市高三上学期第二次诊断考试数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解一元二次不等式化简集合,集合中的元素都是正整数,再根据集合的交集的概念进行运算即可,【详解】因为,所以.故选:C【点睛】本题考查了解一元二次不等式,考查了集合的交集运算,属于基础题.2．已知为虚数单位，复数，则其共扼复数（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根据复数的乘法运算计算得复数,再根据共轭复数的概念可得答案.【详解】因为,所以.故选:D【点睛】本题考查了复数的乘法运算,考查了共轭复数的概念,属于基础题.3．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形（如图）．若底面圆的弦所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.【详解】设截面将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为,圆柱的体积为, 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为,圆柱的底面积为,则,,,所以依题意可得,所以.,故选:A【点睛】本题考查了利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程是解题关键,属于基础题.4．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据三角函数的定义计算可得答案.【详解】因为,,所以,所以.故选:D【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,考查了利用三角函数的定义求角的三角函数值,属于基础题.5．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据函数值恒大于等于0,排除,根据函数不是偶函数,排除,根据趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除,故选:.【详解】因为,所以不正确;函数不是偶函数,图象不关于轴对称,所以不正确;当时,, 当趋近于正无穷时,和都趋近于正无穷,但是增大的速度大于增大的速度,所以趋近于0,故不正确.故选:B【点睛】本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.6．执行如图所示的程序框图，若输入的值分别为，，输出的值分别为，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据程序框图得到,,再相加即可得到答案.【详解】由程序框图可知:程序框图的功能是计算分段函数的函数值当时,,所以,当时,,所以,所以.故选:C【点睛】本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值,搞清楚程序框图的功能是解题关键,属于基础题.7．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，且（为坐标原点），则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得以及,消去,结合离心率的定义可得答案.【详解】依题意可知,即,又,所以该椭圆的离心率.故选:B【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,关键是由得到,属于基础题.8．关于函数的图象向右平移个单位长度后得到图象，则函数（    ）A．最大值为3 B．最小正周期为C．为奇函数 D．图象关于轴对称【答案】D【解析】先根据图象的平移变换和诱导公式得,再根据的解析式可得答案.【详解】依题意可得,所以的最大值为4,最小正周期为,为偶函数,图象关于轴对称.故选:D【点睛】本题考查了函数图像的平移变换,考查了诱导公式,考查了函数的最值,周期性和奇偶性,属于基础题.9．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的,图③中阴影部分的面积是大三角形面积的,归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的,所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为.故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.10．圆上到直线的距离为的点共有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.【详解】圆可化为,所以圆心为,半径为2,圆心到直线的距离为:,所以,所以圆上到直线的距离为的点共有3个.故选:C【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.11．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为（    ）A．2400元 B．2560元 C．2816元 D．4576元【答案】B【解析】设甲型车辆,乙型车辆,运送这批水果的费用为元,依题意列出所满足的不等式组和目标函数,然后作出可行域,平移直线,根据图形得到最优解,代入最优解的坐标即可得到答案.【详解】设甲型车辆,乙型车辆,运送这批水果的费用为元,则 ,目标函数,作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的阴影部分:作直线,并平移,分析可得当直线过点时,取得最小值,即元.故选:B【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值,解题关键是找到最优解,属于基础题.12．已知直线与曲线相切，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设切点为,利用导数的几何意义可得,将切点坐标代入直线,可得,再构造函数利用导数可得最小值.【详解】设切点为,因为,所以,所以,所以,又切点在直线上,所以,所以,所以,所以,令,则,令,得,令,得,所以在上递减,在上递增,所以时,取得最小值.即的最小值为.故选:B【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率,考查了利用导数研究函数的单调性,根据单调性求函数的最值,属于中档题.  二、填空题13．已知非零向量满足，则 __________.【答案】【解析】的几何意义是以为邻边的长方形的对角线，几何意义是以为邻边的长方形的另一条对角线，依题意，平行四边形的对角线相等，则为矩形，故两个向量的夹角为.14．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为______．【答案】15【解析】先根据等高条形图求出喜欢徒步的男女生人数,从而可得喜欢徒步的总人数,进一步可得男生的抽样比,利用抽样比可得抽取的男生人数.【详解】根据等高条形图可知: 喜欢徒步的男生人数为,喜欢徒步的女生人数为,所以喜欢徒步的总人数为,按分层抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为人.故答案为:15【点睛】本题考查了等高条形图,考查了利用分层抽样计算抽取的样本中,各层的人数,属于基础题.15．如图，在正方体中，点在线段上移动，有下列判断：①平面平面；②平面平面；③三棱锥的体积不变；④平面．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）【答案】①②③【解析】①在正方体中可证平面平面，又点在线段上移动,所以平面平面,所以①正确;②先证平面，再根据面面垂直的判定定理可证平面平面，所以②正确；③根据平面,可得三棱锥的体积不变，所以③正确；④由平面，而与交于，可得④不正确.【详解】①因为在正方体中有, ,且平面,平面,所以 平面,同理得平面,又,所以平面平面,又点在线段上移动,所以平面平面,所以①正确;②因为平面，所以在平面内的射影为，因为，根据三垂线定理可得，同理可得，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以②正确；③由①知平面，所以点到平面的距离为定值,所以三棱锥的体积不变，所以③正确；④由②知平面，而与交于，所以与平面不垂直，所以④不正确。故答案为:①②③【点睛】本题考查了直线与平面,平面与平面平行的判定定理，考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，属于中档题.16．已知函数，则满足不等式的取值范围是______．【答案】【解析】先用偶函数的定义得函数为偶函数,可得,再利用时,函数为增函数,可将不等式化为,从而可解得结果.【详解】因为,所以,所以 为偶函数,所以,当时,为增函数,所以等价于,所以,所以,故答案为: 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式,利用将不等式化为是解题的关键,属于中档题. 三、解答题17．在中，角，，所对的边分别是，，，且 ．（1）证明：为，的等差中项；（2）若，，求．【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】(1)由以及正弦定理,得,即为，的等差中项;(2)根据以及余弦定理可解得.【详解】（1）由,得，所以,由正弦定理得,即为，的等差中项,（2）由（1）得,因为，，由余弦定理有,即,由，解得，（舍去）,所以.【点睛】本题考查了两角和的正弦公式,考查了正弦定理角化边,考查了诱导公式,考查了余弦定理,考查了等差中项,属于中档题.18．已知数列的前项和为，首项为，且4，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)根据4，，成等差数列,可得,再利用可得,从而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列,由此可得数列的通项公式;(2)由可得,再根据等差数列的前项和公式可得结果.【详解】（1）由题意有,当时，，所以,当时，，，两式相减得，整理得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列,所以数列的通项公式．（2）由，所以，所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列,所以．【点睛】本题考查了等差中项的应用,考查了用和的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了等差数列的前项和的公式,属于中档题.19．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数（个）和温度（）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数和温度可用方程来拟合，令，结合样本数据可知与温度可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：2774182 表中，．（1）求和温度的回归方程（回归系数结果精确到）；（2）求产卵数关于温度的回归方程；若该地区一段时间内的气温在之间（包括与），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据：，，，，．）附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1）；（2），.【解析】(1)根据公式计算出和,可得;(2)根据可得,再根据函数为增函数可得答案.【详解】（1）因为与温度可以用线性回归方程来拟合，设．，所以，故关于的线性回归方程为．（2）由（1）可得，于是产卵数关于温度的回归方程为,当时，；当时，；因为函数为增函数，所以，气温在之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是内的正整数．【点睛】本题考查了求线性回归方程,考查了利用线性回归方程对变量进行分析,属于中档题.20．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．（1）若为线段上的动点，证明：平面平面；（2）若为线段，，上的动点（不含，），，三棱锥的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】(1)利用,可得平面,根据面面垂直的判定定理可证平面平面;(2) 由底面，得平面平面．将问题转化为点到直线的距离有无最大值即可解决.【详解】（1）证明:因为，为线段的中点，所以,因为底面，平面，所以,又因为底面为正方形，所以，,所以平面,因为平面，所以,因为，所以平面,因为平面，所以平面平面.（2）由底面，则平面平面,所以点到平面的距离（三棱锥的高）等于点到直线的距离,因此，当点在线段，上运动时，三棱锥的高小于或等于2,当点在线段上运动时,三棱锥的高为2,因为的面积为,所以当点在线段上，三棱锥的体积取得最大值,最大值为.由于三棱锥的体积等于三棱锥的体积,所以三棱锥的体积存在最大值.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质,考查了直线与平面垂直的判定定理,考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,属于中档题.21．已知函数．（1）若为单调递增函数，求的取值范围；（2）若函数仅一个零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或.【解析】(1)先求导得到,将为单调递增函数转化为对于恒成立,构造函数,利用导数求出其最值即可解决;(2) 因为，所以是的一个零点,所以只需在内无另外实根即可,通过讨论得到的单调性,根据单调性可得答案.【详解】（1）由，得,因为为单调递增函数，所以当时，由于，于是只需对于恒成立，令，则，当时，，所以为增函数，所以．当，即时，恒成立，所以为单调递增函数时，的取值范围是．（2）因为，所以是的一个零点．由（1）知，当时，为的增函数，此时关于的方程仅一解，即函数仅一个零点，满足条件．当时，由得，（i）当时，，则，令，易知在的增函数，且，所以当时，，则，为减函数，当时，，则，为增函数，所以在上恒成立，且仅当，于是函数仅一个零点,所以满足条件．（ii）当时，由于在为增函数，则，又当时，．则存在，使得，即使得，当时，,则，当时，,，所以在上递减,在上递增,所以，且当时，．于是当时,存在的另一解，不符合题意，舍去．（iii）当时，则在为增函数，又，，所以存在，使得，也就使得，当时， ,，当时，,，所以在上递减,在上递增,所以，且当时，．于是在时存在的另一解，不符合题意，舍去．综上，的取值范围为或．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用单调性研究函数的零点个数,考查了分类讨论思想, 利用的单调性研究的符号是解题关键,本题属于难题.22．已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2），是曲线上两点，若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)先消去参数将参数方程化成普通方程,再利用，将普通方程化成极坐标方程即可得到;(2) 设点的极坐标为，则点的极坐标为．将化成,利用即可得到答案.【详解】（1）由（为参数），得曲线的普通方程为,将，代入，得,即,所以曲线的极坐标方程为.（2）由（1）知,设点的极坐标为，因为，则点的极坐标为,所以．【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,考查了直角坐标方程化极坐标方程,考查了极坐标的几何意义,考查了同角公式,属于中档题.23．已知正实数，满足．（1）求最大值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．【答案】（1）4；（2）.【解析】(1)平方后用基本不等式即可得到答案;(2)利用基本不等式求得的最小值为3,利用绝对值三角不等式求得的最大值为,然后将恒成立转化为,解绝对值不等式即可得到答案.【详解】（1）因为，当且仅当时取等号．所以最大值为4．（2）因为，当且仅当，即，取等号，所以的最小值为3,又,所以,所以不等式对任意恒成立，只需,所以,解得,即实数的取值范围是.【点睛】本题考查了基本不等式求积的最大值,和的最小值,考查了绝对值三角不等式,考查了不等式恒成立问题,属于中档题.