2020_2021学年高中数学课时分层作业16指数函数及其性质的应用新人教A版必修1 练习

课时分层作业(十六)　指数函数及其性质的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．三个数a＝(－0.3)0，b＝0.32，c＝20.3的大小关系为(　　)A．a＜b＜c　　　 B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜aC　[∵a＝(－0.3)0＝1，b＝0.32＜0.30＝1，c＝20.3＞20＝1，∴c＞a＞b.故选C.]2．若<，则实数a的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)   B.C．(－∞，1)   D.B　[∵函数y＝在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.]3．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)A.   B.C.∪(1，＋∞)   D.A　[由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，选A.]4．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数A　[因为f(x)＝3x－，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－＝－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f(x)＝3x－在R上是增函数．]5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)A．6　　 B．1  C．3　　　　 D．C　[函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，ymax＝3.]二、填空题6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．m<n　[∵a＝∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n.]7．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．b<a<c　[因为－1<x<0，所以由指数函数图象和性质可得：2x<1,2－x>1，0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b<a<c.]8．函数f(x)＝的单调递增区间为________．[0，＋∞)　[由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f(x)＝的单调递增区间为[0，＋∞)．]三、解答题9．求下列函数的单调区间：(1)y＝a (a>1)；(2)y＝2|x－1|.[解]　(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数．(2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，∴y＝2x－1为增函数；当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，∴y＝21－x为减函数．故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．10．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求a的值；(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．[解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数．(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.(3)由(2)知，f(x)＝－，由(1)知，f(x)为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．∵f(1)＝－＝，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C. [－2，＋∞) D．(－∞，－2]B　[∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝，∴a＝，a＝－(舍去)．∴f(x)＝，∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞)．]2．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)A．1　　　B.     C.　　　D.D　[f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．当－b≥1，即b≤时，2－b＝4＝22，解得b＝.]3．已知函数f(x)＝为奇函数，则m的值等于________.1　[由题意可知，f(0)＝＝＝0，∴m＝1.]4．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．　[∵a2＋a＋2＝＋>1，∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数，∴x>1－x，即x>.]5．已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝在R上是减函数，∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.