千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第2炼 充分条件与必要条件

第2炼  充分条件与必要条件一、基础知识1、定义：（1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为，（2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若则”的真假，也要判断“若则”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）能推出，但推不出，则称是的充分不必要条件（2）推不出，但能推出，则称是的必要不充分条件（3）能推出，且能推出，记为，则称是的充要条件，也称等价（4）推不出，且推不出，则称是的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如，构造命题：“若，则”为真命题，所以，但“若，则”为假命题（还有可能为），所以不能推出；综上，是的充分不必要条件（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由就可以得到结论，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到所以可以说对是“充分的”，而反观对，由，要想得到，还要补充一个前提：不能取，那既然还要补充，则说明是“不充分的”② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果不成立，那么必然不为1，但是仅靠想得到也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的”（3）运用集合作为工具   先看一个问题：已知 ,那么条件“”是“”的什么条件？   由可得到：，且推不出，所以“”是“”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：① ：是的充分不必要条件，是的必要不充分条件② ：是的充分条件③ ：是的充要条件   此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在中，满足的取值集合为，而满足的取值集合为所以，进而判断出是的充分不必要条件5、关于“”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：是的充分不必要条件，则命题“若，则”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若，则”也为真命题。所以是的充分不必要条件二、典型例题：例1：已知，则是的（     ）A. 充要条件                                B. 必要不充分条件       C. 充分不必要条件                          D. 既不充分也不必要条件思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。，解得：，即；或，即。所以，进而是的充分不必要条件答案：C例2：已知，那么是的（      ）A. 充要条件                                B. 必要不充分条件       C. 充分不必要条件                          D. 既不充分也不必要条件思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再进行判断，比如“”等价于，所以只需判断与的关系即可。根据的单调性可得：如果，则，但是若，在大于零的前提下，才有，而题目中仅说明。所以不能推出。综上可判断是的充分不必要条件答案：C小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条件），再进行判断即可（2）在推中，因为是条件，表达式成立要求，但是在推中，是条件，且对取值没有特殊要求，所以，那么作为结论的就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件，谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。例3：已知，如果是的充分不必要条件，则的取值范围是_____思路：设，因为是的充分不必要条件，所以，利用数轴可而判断出 答案： 例4：下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（     ）A.            B.          C.           D. 思路：求的充分不必要条件，则这个条件能够推出，且不能被推出。可以考虑验证四个选项。A选项可以推出，而不一定能够得到（比如），所以A符合条件。对于B，C两个选项均不能推出A，所以直接否定。而D选项虽然可以得到，但是也能推出，所以D是A的充要条件，不符题意答案：A例5：（2015浙江温州中学高二期中考试）设集合，则“”是“”的（  ）A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  思路：先解出两个解集：，的解集与的取值有关：若，则；若，则，观察条件，若，则，所以成立；若，则通过数轴观察区间可得的取值为多个（比如），所以“”是“”的充分不必要条件答案：A例6：对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（       ）A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  思路：如果是奇函数，图像关于原点对称，则中位于轴下方的部分沿轴对称翻上来，恰好图像关于轴对称，但的图象关于轴对称未必能得到是奇函数（例如），所以“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件答案：B例7：已知，则“”是“”的（     ）A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左右，可以举出反例，则不成立，所以左边无法得到右边。而右左能够成立，所以“”是“”的必要不充分条件思路二：本题也可以运用集合的思想，将视为一个点的坐标，则条件所对应的集合为，作出两个集合在坐标系中的区域，观察两个区域可得，所以“”是“”的必要不充分条件答案：B例8（2015菏泽高三期中考试）：设条件：实数满足；条件：实数满足且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________思路：本题如果先将，写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但，容易书写错误。所以优先考虑使用原条件。“是的必要不充分条件”等价于“是的必要不充分条件”，而为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。解：设，可解得：，    设可解得：，  是的必要不充分条件    是的必要不充分条件     答案：例9：数列满足，则“”是“数列成等差数列”的（     ）A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  思路：当时，可得，即成等差数列。所以“”是“数列成等差数列”的充分条件。另一方面，如果成等差数列，则 成等差数列，所以有，代入可得：，解得或，经检验，时，，利用数学归纳法可证得，则也为等差数列（公差为0），所以符合题意。从而由“数列成等差数列”无法推出“”，所以“”是“数列成等差数列”的不必要条件答案: A例10：设，则是的（      ）A. 充分不必要条件                              B. 必要不充分条件         C. 充要条件            D. 既不充分也不必要条件  思路：因为，所以。故由可得，即，对于能否推出，可考虑寻找各自等价条件：，，通过数形结合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分条件答案：B  三、近年模拟题题目精选1、（2014，江西赣州高三摸底考试）若，则“”是“”的（   ）A.  充分不必要条件                       B.  必要不充分条件     C.  充要条件                             D.  既不充分也不必要条件2、（2014南昌一模，3）设为向量，则“”是“”的（     ）A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件3、若，则“成立”是“成立”的（   ）                         A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件4、（2014，北京）设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的(　   　)A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件5、（2014上海13校联考，15）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（　　）A. 　　　     B. 　        　C. 　　　　    　D. 6、（2015，福建）“对任意的，”是“”的（     ）A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件7、（2014北京朝阳一模，5）在中，，，则“”是“”的（     ）A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件8、（2014 湖北黄冈月考，4）已知条件，条件：直线与圆相切，则是的（   ）A．充分不必要条件   B．必要不充分条件   C．充要条件  D．既不充分又不必要条件9、(2014陕西五校二模，1）命题且满足.命题且满足.则是的（   ）A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件10、（2015北京理科）设是两个不同的平面，是直线且．则“”是“”的（     ）A.  充分不必要条件    B. 必要不充分条件   C. 充要条件   D. 既不充分也不必要条件11、（2016，上海交大附中期中）条件“对任意”是“”的（   ）A.  充分而不必要条件                     B.  必要而不充分条件C.  充分必要条件                         D.  既不充分也不必要条件习题答案：1、答案：B解析：从集合的角度来看，满足条件的取值范围是或，所以可知“”是“”的必要不充分条件2、答案：C解析：的夹角为，从而等价于3、答案：C解析：由不等式性质可知：，则即，反之若，则即4、答案：D解析：若的项均为负项，则“”，“为递增数列”之间无法相互推出，所以两条件既不充分也不必要5、答案：B解析：，，因为，由数轴可得：即可6、答案：B解析：左侧条件中恒成立不等式可化为，设，可知，所以若为减函数，则一定有成立。考虑，由可得：，故时，成立，所以为减函数， 成立。所以使不等式恒成立的的范围包含，而，故“对任意的，”是“”的必要不充分条件7、答案：B解析：由正弦定理可得：，所以或，均满足题意，由两条件对应集合关系可知“”是“”的必要不充分条件8、答案：C解析：从入手，若与圆相切，则解得，所以 9、答案：C解析：分别解出满足两个条件的解，；，可知两个集合相等，故 10、答案：B解析：依面面平行的判定和性质可知：“”无法得到“”，但“”可推出“”11、答案：B解析：将不等式变形为，设，且，则。当时，可得，从而在单调递减，，即不等式恒成立。所以若“”，则“对任意”；而“对任意”，未必能得到“”（不等式也成立），所以为“必要不充分条件”