山西省2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份山西省2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了 命题“”的否定为， 已知集合，则， “”是“”的， 已知函数，若，则， 已知为锐角，若，则， 已知实数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】含量词的命题的否定是换量词，否定结论，故其否定为．
故选：D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由解得，
所以，所以，
故选：C.
3. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由弧度制定义，该扇形的半径为，
所以该扇形的面积为.
故选：B.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由，解得，所以“”不是“”的充分条件；
若，则，故“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
5. 已知函数，若，则（ ）
A. －3B. C. D. 2
【答案】B
【解析】设，则，所以为奇函数，
因为，所以，解得，
所以， ，
故选：B.
6. 已知为锐角，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为为锐角，所以，又，
所以，
所以
故选：A.
7. 已知函数若在上单调递减，则实数取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为在上单调递减，所以，解得，
故选：A.
8. 某同学在查阅资料时发现一个不等式“，当且仅当时等号成立”．借助该不等式，解答问题：对恒成立，则正数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为对恒成立，所以对，恒成立，
所以，又，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，所以，所以．
即正数的取值范围为．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】对于A，因为，两边同乘以，因为，所以由不等式的性质，得，故A正确；
对于B，因为，所以，又，由不等式的性质，得，所以，故B正确；
对于C，，由题意知，且，所以，所以，故C错误；
对于D，取，此时，故D错误．
故选：AB.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 在上单调递增
B. 图象关于点对称
C. 关于的方程在上有2个相异实根
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数
【答案】ACD
【解析】由的图象得，，，
所以，故，
由，得，即的单调递增区间为，
令，得，又，故A正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故B错误；
因为，所以由图象知，当时，在上有两个不相等的实根，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度，得的图象，
显然为奇函数，故D正确．
故选：ACD.
11. 狄利克雷函数是德国数学家狄利克雷给出的一个函数，下列关于该函数的论述正确的是（ ）
A.
B. 方程有无数个实数解
C.
D.
【答案】BCD
【解析】对于A，若，所以，
若，所以，所以，故A错误；
对于B，若，所以任意有理数皆为方程的解，故B正确；
对于C，若，则，
若，则，
所以，所以，故C正确；
对于D，若，则，所以，若，则，所以，所以，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数为偶函数，则实数________．
【答案】
【解析】因为为偶函数，所以，即，所以，所以．
故答案为：.
13. 若函数的定义域为，则的值域为________．
【答案】
【解析】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增，
又函数在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，所以值域为，
故答案为：.
14. 如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为________．
【答案】
【解析】设，
由题意知，
当与重合时，由，得，
当与重合时，同理可得，
所以，
因为
所以的周长，
令，因，所以，
又，
所以，且，
所以，所以当时，取得最小值，且，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）求；
（2）求．
解：（1）因为，所以，
所以．
（2）.
16. 已知函数的单调递减区间为开区间，集合．
（1）求；
（2）若区间，求实数的取值范围．
解：（1）由，得，所以的定义域为，
因为函数的单调递减区间为，且在上单调递增，
所以的单调递减区间为，即．
因为，所以，
由，得，所以，
所以.
（2）因为区间，所以
解得，即实数a的取值范围为．
17. 2024年新能源汽车的渗透率已超过，为解决新能源汽车的充电问题，某新能源公司投资300万元用于充电桩项目，调研发现且年内该项目的总维护费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设第且年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维护费用－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为99万元．
（1）求的解析式；
（2）到第几年年底，该项目的年平均利润（平均利润纯利润年数）最大？并求出最大值．
解：（1）由题意得，
当时，，所以，
所以且．
（2）设平均利润为万元，
则且，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
因为，且当时，，当时，，
所以到第6年年底，该项目的平均利润最大，最大值为56万元.
18. 已知函数．
（1）当时，解方程；
（2）若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
所以，
所以可化为，
即，所以，或，
所以，或，
即方程的解为或．
（2）因为对在上总有意义，
所以对在上恒成立．
令，则，
因为，所以在上单调递减，所以，
所以恒成立，即，所以，
因为在上单调递减，所以在上单调递减，
所以，
由题意知，
即，
所以，即，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
故实数的取值范围为．
19. 双曲函数是一种重要的函数，在物理学，工程学以及数学的其他领域中都有广泛应用.例如，在描述悬链线的形状，解决某些类型的微分方程时，都会用到双曲函数．最基本的双曲函数有双曲正弦函数：和双曲余弦函数：．
（1）求证：；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若对，关于的方程有解，求实数的取值范围．
解：（1）由题意可得
.
（2）函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
又，
所以，
因为函数在上均为单调递增函数，所以在上单调递增，
所以，即，
故原问题转化为恒成立，
所以，
因为，所以当时，，
所以，即实数的取值范围为．
（3）因，当且仅当时等号成立，
由于，所以，
因为关于的方程，即有解，
所以，即恒成立，
由（2）知在上单调递增，所以当，
所以，即的取值范围为．