陕西省西安市国际港务区铁一中陆港初级中学2024−2025学年九年级上学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市国际港务区铁一中陆港初级中学2024−2025学年九年级上学期开学考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题）
1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列因式分解正确的是( )
A．B．
C．D．
5．如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合
B．六边形内角和为
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于
7．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ）
A．B．C．2D．4
9．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．2B．C．3D．
10．如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ）
A．甲、乙、丙B．只有甲、乙C．只有甲、丙D．只有乙、丙
二、填空题（本大题共4小题）
11．因式分解： ．
12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
13．足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ​．
14．如图，在矩形中，分别是，的中点，连接，，且分别是，的中点，已知，则的长为 ．

三、解答题（本大题共11小题）
15．计算：．
16．解方程或解不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．先化简，再求值：，其中，
18．如图，已知△ABC中，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，．（保留作图痕迹，不写作法）
19．如图，，，求证：．
20．已知关于x的方程有两个实数根，，其中，求另一个根和k的值．
21．如图，点在上，．

(1)若，求的度数；
(2)若平分，求证：．
22．一只不透明的袋子里装有1个白球，1个黄球和2个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球．
(1)摸到红球的概率为______．
(2)从袋子中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球，请用画树状图或列表的方法求摸到的两个球中有一个是黄球的概率．
23．已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形．
24．为响应政府号召“推进生态文明，建设绿色城市”，某校组织师生开展了植树活动，在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．求甲、乙两种树苗每棵分别多少元？
25．（1）如图1，分别是正方形的边和边上的点，并且，我们可通过如下方法探索与和之间的数量关系：
因为，所以我们以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，使得点D与点B重合，则点F的对应点恰好落在的延长线上，记为点，由且易证，从而可知，的数量关系是______；
（2）如图2，在正方形中，E是边的三等分点，F为边上的点，且，当时，请求出的长．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是中心对称图形，故此选项符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故此题答案为．
2．【答案】A
【分析】根据分式的分母不为零的计算出x的范围即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得．
故此题答案为．
3．【答案】D
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
【详解】解：A．，故选项A分解错误，不合题意；
B．，故选项B分解错误，不合题意；
C．，故选项C分解正确，符合题意；
D．，故选项D分解错误，不合题意．
故此题答案为C．
5．【答案】C
【详解】解：、由，则，此选项不符合题意；
、由，则，此选项不符合题意；
、由，则，此选项符合题意；
、由，则，此选项不符合题意；
故此题答案为．
6．【答案】B
【详解】A、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合，选项正确，不符合题意；
B、多边形内角和公式为： ，当时，六边形内角和为，故选项错误，符合题意；
C、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，选项正确，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于，选项正确，不符合题意；
故此题答案为B
7．【答案】C
【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程．
【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，
由题意得：．
故此题答案为C
8．【答案】D
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．
【详解】解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2OA＝2，
∵菱形的边长为，
∴AB＝，
∴，
∴BD＝2BO＝4，
∴S菱形ABCD＝BD•AC＝×4×2＝4．
故此题答案为D．
9．【答案】A
【分析】是一元二次方程的两根时，，．据此即可求解．
【详解】解：是一元二次方程的两个根，
，
故此题答案为A．
10．【答案】A
【详解】解：甲方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，
，
在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形；
乙方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，
，则，
在和中，
，
，
在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形；
丙方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，，
在和中，
，
，
平分；平分；
，
在和中，
，
，
在四边形中，由对角线相互平分可知，，四边形为平行四边形；
综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点为顶点的四边形为平行四边形，
故此题答案为A．
11．【答案】
【分析】利用提取公因式法即可．
【详解】提取公因式得：
12．【答案】
【分析】一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的值即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得
13．【答案】/12度
【详解】解：∵正六边形的每个内角，
正五边形的每个内角，
∴
14．【答案】5
【分析】连接、，由矩形的对角线相等得出的长，由三角形中位线定理得出的长，再次利用三角形中位线定理即可求出的长．
【详解】解：如图，连接、，
四边形是矩形，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
15．【答案】
【分析】先根据二次根式的性质、负整数指数幂、去绝对值的规律化简，再合并同类二次根式即可；
【详解】解：原式=
16．【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)
【分析】（1）把等式右边提公因数2，再移到左边因式分解；（2）（3）直接用十字相乘法因式分解求解；（4）在不等式两边同时乘以4去分母，再解不等式．
【详解】（1）解：
或
∴，．
（2）解：
或
∴，．
（3）解：
或
∴，．
（4）解：
．
17．【答案】，
【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
18．【答案】见解析
【分析】根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可知，作的垂直平分线交于点D即可．
【详解】解：作法：分别以点B和点C为圆心，大于的长度为半径画弧，相交于两点，连接两点并延长，交于点E，交于点D，连接，如图所示，
∵垂直平分，
∴，
∴
∵，
∴．
19．【答案】见详解
【分析】根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
20．【答案】，
【分析】由题意得，，，由代入求出，再求出k．
【详解】解：由题意得，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，．
21．【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，再根据平行线的性质可得;
（2）证明四边形是平行四边形即可．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵
∴
∵平分，
∴
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴．
22．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求出摸出红球的概率；
（2）利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可．
【详解】（1）
解：（1）从袋中随机摸出1个球，摸出红球的概率为：；
（2）
如图所示：
所有的可能有12种，符合题意的有6种，故两次摸到的球颜色不相同的概率为：．
23．【答案】证明见解析．
【分析】灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明．
【详解】证明：，是的平分线，
，．
，
为的外角的平分线，
．
，
，
．
四边形为矩形．
24．【答案】甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元．
【分析】设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元．根据“用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可；
【详解】解：设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元．
依题意列方程得，，
，
解得，
经检验是原方程的根．
当时，．
答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元．
25．【答案】（1）；（2）的长为．
【分析】（1）根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到；
（2）设，由（1）可知，，，
在中，由勾股定理得方程求解即可．
【详解】解：（1）如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
（2）∵E是边的三等分点，是正方形。
∴，．
设，由（1）可知
则有，，
在中，有
∴
解之得
∴的长为．