陕西省西安市第三中学2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市第三中学2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下图所示的几何体的左视图是（ ）．
A．B．
C．D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
4．在中，，，，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知点在反比例函数的图象上，则下列各点一定在该函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的半径，点在劣弧上，连接．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当时，的值随的值增大而增大
C．方程的一个解的取值范围是
D．图象的对称轴是直线
二、填空题（本大题共5小题）
9．已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 ．
10．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ．
11．已知两个相似三角形的周长之比是，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是 ．
12．已知反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点，过分别向轴，轴作垂线段，与轴，轴围成的矩形面积为12，则当时，的取值范围是 ．
13．如图，在中，，，若点D、E分别是、边上的两个动点，连接、，且，则的最小值为 ．

三、解答题（本大题共11小题）
14．计算：．
15．解方程：
(1)
(2)
16．小明同学在做一道题时需要找出已知弧线所在圆的圆心，他在弧上描出了三个点，并连接了和，请你用尺规作图法，帮小明继续完成，找出该弧所在圆的圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
17．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
18．如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为），画出图形；
(2)分别写出B、C两点的对应点、的坐标．
19．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为．
(1)求坡顶A到地面的距离；
(2)计算古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
20．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱．一商场以20元每个的进价购进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出200个．经过市场调查发现，价格每涨1元，每周就少卖5个．
(1)若商场计划一周的利润达到3000元，且要以更优惠的价格让利给消费者，销售价应定为多少元？
(2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格的基础上，销售量稳步上涨，两周后销售量达到了每周216个，求这两周的平均增长率．
21．北京时间年月3日，瑞典皇家科学院宣布，将诺贝尔物理学奖授予皮埃尔·阿戈斯蒂尼、费伦茨·克劳什、安妮·卢利耶．这3位获得者所做的实验，为人类探索原子和分子内部的电子世界提供了新的工具．在诺贝尔奖历史上，诺贝尔物理学奖是华人获奖最多的领域，共有6位华人科学家获奖，分别是杨振宁、李政道、丁肇中、朱棣文、崔琦、高锟．小轩家刚好有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，小轩阅读完后任选一本写读后感．
(1)小轩选到《朱棣文传》是________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)小轩的妹妹也从这四本传记书中任选一本写读后感，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好选到同一本书写读后感的概率．
22．已知：如图，是的直径，是的弦，且，垂足为．

(1)求证：；
(2)若，的直径，求、的长．
23．掷实心球是宝鸡市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据宝鸡市高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，得分为满分10分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分．
24．（1）如图1，在扇形中，点为扇形所在圆的圆心，，，点是上一点，则面积的最大值为______．
（2）如图2，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积．
（3）如图3，菱形是一个广场示意图，其中菱形边长为120米，，市政部门准备在这块菱形广场中修建一个四边形景观区，这块四边形区域需要满足，，，则这块四边形区域的面积是否存在最小值？若存在，请计算出面积的最小值及此时线段的长，若不存在，请说明理由．（结果保留根号）
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据只含有一个未知数，且含有未知数的最高项的次数为2的整式方程，叫作一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、含有2个未知数，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意；
故此题答案为C．
2．【答案】D
【分析】根据几何体的特点从左面看的图形画出即可．
【详解】
解：几何体的左视图是
故此题答案为D．
3．【答案】A
【分析】根据特殊平行四边形的判定和性质逐项判断即可.熟练掌握判定定理是解题的关键.
【详解】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，此选项正确；
B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，此选项错误；
C、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，此选项错误；
D、两条对角线垂直，平分且相等的四边形是正方形，此选项错误.
故此题答案为A.
4．【答案】D
【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系求出即可
【详解】解：如图所示：
在中，，，，
，
．
故此题答案为D．
5．【答案】D
【分析】先求出反比例函数解析式为，再逐项判断即可求解．
【详解】解∶∵点在反比例函数的图象上，
∴，即，
∴反比例函数解析式为，
A、当时，，即不在该函数图象上，故本选项不符合题意；
B、当时，，即不在该函数图象上，故本选项不符合题意；
C、当时，，即不在该函数图象上，故本选项不符合题意；
D、当时，，即在该函数图象上，故本选项符合题意；
故此题答案为D
6．【答案】D
【分析】根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案．
【详解】解：连接交于点，
，
∵，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故此题答案为D．
7．【答案】B
【分析】在优弧上取一点，连接，．利用圆周角定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，再利用三角形内角和定理求出
【详解】解：在优弧上取一点，连接，．
，
，
，
，
．
故此题答案为B．
8．【答案】C
【详解】解：把带入函数解析式，
可得，
解得，
二次函数的解析式为．
，
抛物线的开口向下．
故A选项不符合题意．
，
当时，随的增大而减小．
故B选项不符合题意．
令得，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为和．
方程的一个解的取值范围是．
故C选项符合题意．
二次函数解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
故D选项不符合题意．
故此题答案为C．
9．【答案】2
【分析】根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根．
【详解】解：由题意可知，，
那么有
即方程的另一个根为2．
10．【答案】且
【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点，
∴关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且
11．【答案】
【分析】根据两个相似三角形的周长之比是得到两个相似三角形的周长之比是，设这两个三角形中较小三角形的面积是，则这两个三角形中较大三角形的面积是，根据面积之差是50列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比是，
∴两个相似三角形的周长之比是，
设这两个三角形中较小三角形的面积是，则这两个三角形中较大三角形的面积是，
则，
解得，
∴，
即这两个三角形中较小三角形的面积是
12．【答案】
【分析】设反比例函数的解析式为，因为，则，由垂线与坐标轴围成的矩形的面积为12，得出，结合反比例函数的图象经过第二象限可知，即，结合在第二象限内，随的增大而增大，可得出结论．
【详解】解：依题意，设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数的图象在第二象限的一支上有一点，
则，
过分别向轴，轴作垂线段且交轴，轴于一点，
∵，
∴四边形是矩形，
矩形的面积为12，
，
，
反比例函数的图象经过第二象限，
，
．
即，
在第二象限内，随的增大而增大，
即把代入中，得，
把代入中，得，
∴当时，的取值范围是
13．【答案】
【分析】作交于，根据等腰三角形的性质可得，，进而可知，可知，进而可证，得，设，，，则，，由比例可得，即可求得的最小值．
【详解】解：作交于，
∵，，
∴，，
则，
∵，
∴，

由三角形外角可知，，
∴，
∴，
∴，
设，，，则，，
∴，整理得：，即：，
∵，
∴，
即：的最小值为．
14．【答案】
【详解】解：
．
15．【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
或，
解得，．
16．【答案】见解析
【分析】根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，尺规作线段和的垂直平分线，其交点即为所求．
【详解】解：如图，点O即为所求．
17．【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
，
，
．
18．【答案】(1)见解析
(2)点的坐标是，的坐标是．
【分析】（1）直接利用位似变换的性质得出对应点的位置即可；
（2）直接利用（1）中的图形得出对应点的坐标即可．
【详解】（1）解：延长到，使得，延长到，使得，再连接，如图：
∴就是所求的三角形．
（2）解：∴点的对应点的坐标是，
点的对应点的坐标是．
19．【答案】(1)米
(2)约19米
【分析】（1）过点A作于H，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出k值即可求解；
（2）延长交于D，根据，可得，从而得出四边形是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解．
【详解】（1）解：过点A作于H，如图所示：
∵斜坡的坡度为，
∴，
设，则，
则，
，解得：，
，
坡顶A到地面的距离为米．
（2）解：延长交于D，如图所示：
，，
，
∴，
四边形是矩形，，，
，
∴为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
在中，，
即，解得：，
古塔的高度约19米．
20．【答案】(1)销售价应定为40元
(2)这两周的平均增长率为
【分析】（1）设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个，根据商场计划一周的利润达到3000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设这两周的平均增长率为，根据两周后销售量达到了216个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：销售价应定为40元；
（2）解：由（1）可知，当售价为40元时，每周销售量为150个，
设这两周的平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：这两周的平均增长率为．
21．【答案】(1)不可能；
(2)；
【详解】（1）解：∵小轩家有《杨振宁传》《李政道传》《丁肇中传》《高锟传》四本传记书，
∴小轩选到《朱棣文传》是不可能事件，
故答案为：不可能；
（2）解：由题意可得，树状图如图所示，
总共有种情况，他们恰好选到同一本书的有4种，
∴．
22．【答案】(1)见解析；
(2)4；
【分析】（1）根据垂径定理得出，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证明结论；
（2）根据直径得出，根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”，可得，根据同圆中弧和弦的关系可求得的长度；在中，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理解得，然后根据垂径定理可得，即可求出的长度．
【详解】（1）证明：∵是的直径，是的弦，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，则，
∴，
∴，
∵是的直径，且，
∴，
∴在中，，
又∵，
∴；
∵，，
∴在中，，
∴，
又∵是的直径，，
∴．
23．【答案】(1)
(2)该男生在此项考试中得满分，计算见解析
【分析】（）根据待定系数法求解即可；
（）令，即，解得，比较即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点为
设函数表达式为，
∵抛物线过点
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）解：令，即
解得，不合题意，舍去)，
∵，
∴该男生在此项考试中得满分．
24．【答案】（1）
（2）18
（3）存在，，
【分析】（1）过点O作于点D，并延长交于点E，解直角三角形得出，，求出，，最后利用三角形的面积公式即可求出结果；
（2）作、，交的延长线于点，证明，得出（设为），与的面积相等，进而说明四边形的面积正方形的面积，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案；
（3）先证明为等边三角形 ，得出，，然后证明，得出，作的外接圆，圆心为点，连接，，，过作垂线交于，交于，过作垂线交于，过作延长线的垂线，垂足为，得出，，说明，得出当与重合时最大为，进而得出，然后求出的最小值以及此时的即可．
【详解】解：（1）过点O作于点D，并延长交于点E，如图所示：
当点C在点E处时，点C到的距离最大，的面积最大，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴面积的最大值为：；
（2）如图，作、，交的延长线于点，
，
四边形为矩形，，
，
，
在与中，
，
，
（设为），与的面积相等，
四边形的面积正方形的面积，
由勾股定理得：，
而，
，
∴，
∴正方形的面积为18，
∴四边形的面积为18；
（3）连接，，如图所示：
四边形为菱形，，
∴，，
为等边三角形 ，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
作的外接圆，圆心为点，连接，，，
，，
，
，
过作垂线交于，交于，
过作垂线交于，过作延长线的垂线，垂足为，
，为矩形，，
，，
即：，
当与重合时最大为，
，
，
，
的最小值为：
，
的最小值为：，
此时，
．…
0
3
5
…
…
0
…