湖北省部分学校2024-2025学年高二上学期1月调研考试数学试卷 含解析

这是一份湖北省部分学校2024-2025学年高二上学期1月调研考试数学试卷 含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 若直线方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得直线方程.
【详解】因直线的方向向量为，则直线的斜率
于是直线的方程为，即.
故选:A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合并集的定义直接得到结果.
【详解】.
故选：D.
3. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得面积最小值.
【详解】根据，则直线方程为，即，
又由，则圆心为，
则，
所以点到直线的最小值，
.
故选：C
4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用投影向量的计算公式计算即可.
【详解】向量在向量上的投影向量
故选：C
5. 已知是两个平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间线面的位置关系的判定方法进行判断.
详解】对A：若，则或，故A错误；
对B：因为平行于同一个平面的两条直线的位置关系不能确定，故B错误；
对C：若，则；，则，所以，
所以，所以C正确；
对D：若，，则或，故D错误.
故选：C
6. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程求解.
【详解】由双曲线可知，渐近线方程为，
又直线是其中一条渐近线，
所以，即，
故选：B
7. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ）
A. 20B. 21C. 22D. 23
【答案】B
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得.
【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，，
故数列为递增数列，又，，
故使得成立的正整数n的最大值为21.
故选：B.
8. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，易得则、、，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．
【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，
则，
电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作，
、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率，
所以整个电路不发生故障的概率为.
故选：C.
二、多选题
9. 已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ）
A. 平行于轴的两条直线
B. 单位圆
C. 焦点在轴上的双曲线
D. 焦点在轴上的椭圆
【答案】BC
【解析】
【分析】根据圆，双曲线，椭圆的方程特征，依次分析各选项即可.
【详解】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误；
对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确；
对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
对于D，当，且时，则，所以，
因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误.
故选：BC.
10. 已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，下列说法正确的是（ ）
A. 数列为等差数列
B. 若，则
C.
D. 记，则数列有最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据等比数列的性质逐项判断即可．
【详解】各项均为正项的等比数列，则（，），
对于A：（常数，），所以数列为等差数列，故A正确；
对于B：，
所以，故B正确；
对于C：因为，，，
则，
又，
，
即，所以，故C错误；
对于D：，
由于，有最小值，且，
所以有最大值，故有最大值，故D正确；
故选：ABD．
11. 2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（ ）

A. 的最大值为B. 双纽线是中心对称图形
C. D. 到距离之和的最小值为2c
【答案】BCD
【解析】
【分析】B选项，求出双纽线的轨迹方程为，将换成，把换成，方程不变，故B正确；C选项，由三角形面积公式得到，得到；D选项，由基本不等式得到D正确；A选项，当不重合时，，两边平方后，结合余弦定理得到，求出.
【详解】B选项，由题意得双纽线的轨迹方程为，
将换成，把换成得，
即，故双纽线关于原点中心对称，B正确；
C选项，，其中，
又在双纽线上，故，
故，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，C正确；
D选项，，当且仅当时，等号成立，
故D正确；

A选项，当重合时，，
当不重合时，，
两边平方得，
在中，由余弦定理得①，
即②，
式子①②联立得，，
当落在轴上（除原点）时，等号成立，
故，的最大值为，A错误.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：研究动点轨迹的性质时，若需研究其对称性，一般要写出轨迹方程，换成，或换成，或两者一起交换，进行推导，其他性质常常用到一些工具，比如平面向量，正余弦定理，基本不等式等知识
第II卷（非选择题）
三、填空题
12. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________.
【答案】8
【解析】
【分析】找到与直线CE，EF分别平行或共面的平面即可得解.
【详解】正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.
又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.
【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，属于基础题.
13. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____．
【答案】3＋
【解析】
【分析】过M作MN垂直于抛物线的准线l，由抛物线的定义得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三点共线时求解.
【详解】如图所示，
过M作MN垂直于抛物线的准线l，垂足为N．易知F(1，0)，
因为△MAF的周长为|AF|＋|MF|＋|AM|，
|AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，
所以当A、M、N三点共线时，△MAF的周长最小，
最小值为2＋1＋．
故答案为：3＋
14. 在展开式中，的系数为__________.
【答案】80
【解析】
【分析】由二项展开式的通项求解即可；
【详解】，
二项式的展开式的第项为，
令，则，令，则，
则展开式中，的系数为.
故答案为：80.
四、解答题
15. 已知圆与x轴相切．
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）直线与圆C交于A，B两点，求线段的长．
【答案】（1）圆心坐标为，半径长为2
（2）
【解析】
【分析】（1）首先化为圆的标准方程，再根据半径与圆心坐标的关系，即可求解；
（2）首先计算圆心到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解.
【小问1详解】
配方得，
由此可得圆心坐标为．
因为圆C与x轴相切，
所以圆心到x轴的距离为．
所以半径长为2．
【小问2详解】
因为直线与圆C交于A，B两点，
所以圆心C到直线l的距离为．
由（Ⅰ）可知，
所以．
16. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．
（1）请根据直方图中的数据，将下面的列联表补充完整；
（2）根据（1）中所得数据，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
附：．
【答案】（1）列联表见解析
（2）不能认为“课外体育达标”与性别有关
【解析】
【分析】（1）根据频率求出“课外体育达标”人数，即可完善列联表．
（2）根据（1）中列联表的数据，计算，比较临界值可得结论．
【小问1详解】
由题意得“课外体育达标”人数为，则“课外体育不达标”人数为150．
补充完整的列联表如下：
课外体育不达标
课外体育达标
合计
男
60
女
110
合计
0.15
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
课外体育不达标
课外体育达标
合计
【小问2详解】
，
在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.
17. 已知为锐角，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系求解即可；
（2）根据和正弦两角差公式求解即可.
【小问1详解】
因为为锐角，，从而，
所以.
【小问2详解】
由及，，解得，，
又，所以，
所以，
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
所以
，
因为，所以.
18. 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与以原点为圆心的单位圆交于点.
（1）若为第一象限角，且，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合同角三角函数基本关系与三角函数定义计算即可得；
（2）利用三角函数定义可得，再借助诱导公式与同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得.
【小问1详解】
，
则，
故，
由为第一象限角，且，则，
故；
【小问2详解】
由，则，
则
.
19. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
由，可得，可得①，
由可得，整理可得②，
联立①②可得，，所以，.
【小问2详解】
因为，则，
所以，，
，
上式下式得
，
因此，.