2024~2025学年湖北省部分重点学校智学联盟高二上12月联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省部分重点学校智学联盟高二上12月联考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了 若，是虚数单位，则的最大值是， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为直线的一个方向向量为，则直线的斜率为3，而直线过点，
所以直线的方程为，即.
故选：C.
2. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示的曲线为椭圆，则，
解得或，
则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件，
故选：B．
3. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将圆：化为标准方程得：
，
，即.
又∵点在圆外，
，解得或.
综上，的取值范围为.
故选：D.
4. 蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动,类似今日的踢足球活动已知某“鞠”的表面上有四个点,其中平面，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为平面，平面，
所以，
又，
所以两两垂直，
所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，
即该球的直径为长方体体对角线的长，
因为，所以，
所以该球半径为2，表面积为.

故选：A
5. 若，是虚数单位，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得
，①
，
由，
所以①的最大值为，
故选：D.
6. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，取椭圆右焦点，则，
则由椭圆定义可知，
则，
当且仅当、、三点共线，且在之间时取等，
故的最大值为.
故选：A.
7. 有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】设甲乙丙丁对应的的概率分别为，
由题意可得，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，情况分为，
所以，
丁表示事件“两次取出的球的数字之差的绝对值是3”，情况分为，
所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误；故选：B.
8. 如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，，，
所以，
设，
则，
即，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，
于是，
因为是的角平分线，
所以，
所以，即直线的斜率为.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 经过任意两个不同的点的直线都可以表示为
B. 不经过原点的直线都可以用方程表示
C. 直线的倾斜角越大，则其斜率越大
D. 直线的倾斜角的取值范围是
【答案】AD
【解析】对于A：当两个不同的点的连线不垂直于坐标轴时，
直线方程为，
即，
当直线斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程，
所以经过任意两个不同的点的直线都可以用方程
表示，故A正确；
对于B：如直线不经过原点，
但是不能用方程表示，故B错误；
对于C，当倾斜角为时，斜率为，小于倾斜角为时的斜率，故C错误；
对于D：直线，
即，斜率，
则，所以，故D正确；故选：AD.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若平面，则最小值为1
B. 若平面，则
C. 若，则到平面的距离为
D. 若时，直线与平面所成角为，则
【答案】BC
【解析】建立如图所示空间直角坐标系，
则有、A2,0,0、、
、、、、、，
，，
则；
对A：，，，
则，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则有，
令，则有，即，
由平面，则有，
即，则，
当且仅当时，等号成立，即最小值为，故A错误；
对B：，则，
由平面，则有，即，
解得，，故B正确；
对C：若，则，
则有，即到平面的距离为，故C正确；
对D：，当，时，，
则有
，
当时，，
当时，
，
当且仅当时，等号成立，
故，即，故D错误.故选：BC.
11. 已知双曲线左，右焦点分别为，过直线交双曲线的右支于两点，在第一象限，在第四象限，则（ ）
A. 该双曲线的渐近线方程为
B. 若，则到轴的最大距离为
C. 若，则周长为20
D. 点到两条渐近线的距离之积为
【答案】ACD
【解析】由双曲线方程可知：，
且焦点在x轴上，则.
对于选项A：该双曲线的渐近线方程为，故A正确；
对于选项B：若，可知点在以为直径的圆上或圆内，
因为以为直径的圆的方程为，
联立方程，解得，
当时，直线的斜率，
所以到轴的最大距离为，故B错误；
对于选项C：因，，
则的周长为，故C正确；
对于选项D：设Px0,y0，则，即，
可得点到渐近线的距离，
点到渐近线的距离，
所以点到两条渐近线的距离之积为，故D正确；
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为__________.
【答案】
【解析】由可得，
令，解得，
故直线过定点，又，故点在圆内，
由圆可知圆心为，半径为，
则，则当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，
即有，解得，即直线，
整理得.
故答案为：.
13. 已知抛物线的焦点为为圆上的动点，为上的动点，则的最小值为__________.
【答案】3
【解析】经过作抛物线的准线的垂线，垂足为，
如图：由抛物线的定义可知：，
圆心，半径为，
当共线且经过圆的圆心时最小，此时取得最小值，
所以最小值为：．
故答案为：3．
14. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右顶点分别为是在第一象限的图象上的点，记，若，则椭圆的离心率__________.
【答案】
【解析】设点，则，，
且，可得，
易知点、，
所以，，
则，，
，
所以，
所以，则，可得.
因此的离心率为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作曲线的切线，求切线的方程.
解：（1）设，由题意得，即，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为.
（2）由（1）知化简为标准方程为，圆心为，半径，
当斜率不存在时，x=1，此时直线与圆相切；
当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，因为直线与圆相切，
所以，解得，
所以直线的方程为；
综上，切线方程为x=1或.
16. 的内角的对边分别为，已知向量，满足.
（1）求；
（2）若角的平分线交边于点长为2，求的面积的最小值.
解：（1）因为，所以，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，故.
（2）∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
由基本不等式可得：，
∴，当且仅当时取“=”，
∴，
即的面积的最小值为.
17. 如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,为等边三角形且垂直于底面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
解：（1）如图所示，取中点，为等边三角形，，
又面垂直于底面，交线为，得面，
又面.
底面为直角梯形，，，
，，，
所以，，，
所以，得，
又，面，得面，面，所以.
（2）由（1）知面，
不妨设，则，
以为坐标原点，过点与平行直线为轴，分别以、所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，
得，，，
，，；
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，，可取；
设平面的一个法向量为m=x1,y1,z1，
则，即，可取.
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
18. 甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者(甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛)，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.
（1）若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
（2）请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概率最大.
解：（1）若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为 ；
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为 ，
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为 .
（2）若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为 ，
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为
，
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，
则甲获得冠军的概率即第问的结果，
因为 ，所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大.
19. 对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.根据上述材料回答下面问题：已知椭圆，右焦点，点在椭圆上，已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与椭圆交于点.
（1）若，证明：极线恒过定点.
（2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程
（3）若，极线交椭圆于两点，点在轴上方，点分别是椭圆的左､右顶点，直线､直线分别交轴于两点，点为坐标原点，求的值.
解：（1）由椭圆的右焦点为，点在椭圆上，
则，解得，
椭圆的方程为，
因为点在直线上，则设，
所以极线的方程为，整理得，
则，解得，
所以极线过定点.
（2）若定点是的中点，设，
则，两式相减得，
整理得，
又，，所以，
所以此时极线的方程为，即.
（3），直线方程为，
由题意，设，则极线的方程为，即，
由，消去得，
设，，
，，
直线，令，可得，即，
直线，令，可得，即，
，又，，
.