2024~2025学年广东省广州市部分学校高二上第二次质检月考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年广东省广州市部分学校高二上第二次质检月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为该直线的斜率为，
所以它的倾斜角为.
故选：A.
2. 如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（ ）
A. 1,1,1B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则有，令，得，，
.
故选：A.
3. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
4. 圆的圆心和半径分别是（ ）
A. ，1B. ，3
C. ，2D. ，2
【答案】C
【解析】由圆的标准方程，得圆心为，半径为2.
故选：C.
5. 将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直线的方程为，其斜率为，
设直线的斜率为，，
．
由题意可知，，，
的方程为：，即．故选：B
6. 空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】因为，所以的一个单位方向向量为.
因为，故，,
所以点到直线的距离为.
故选：A
7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ）
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得到点的距离为3
C. 在上存在点，使得
D. 上的点到直线的最小距离为1
【答案】C
【解析】对A：设点Px,y，
∵，则，整理得，
故C的方程为，故A正确；
对B：的圆心，半径为，
∵点到圆心的距离，
则圆上一点到点的距离的取值范围为，
而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确；
对C：设点Mx,y，∵，则，
整理得，
∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆，
又，则两圆内含，没有公共点，
∴在C上不存在点M，使得，C不正确；
对D：∵圆心到直线的距离为，
∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；
故选：C.
8. 已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】A
【解析】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为，
且，则点的坐标为，
则，
记，
则可将理解为点到的距离之和，
即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值.
如图，作出点关于直线的对称点,则，
连接，交直线于点,则即的最小值，
且,
故的最小值为.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（ ）
A. 点的坐标为2,1B.
C. D. 的最大值为5
【答案】ABC
【解析】因为可以转化为，
故直线恒过定点，故A选项正确；
又因为：，即恒过定点，
由 和, 满足，
所以, 可得, 故B选项正确；
所以, 故C选项正确；
因为, 设为锐角,
则, ，
所以,
所以当时, 取最大值, 故选项D错误.
故选：ABC.
10 已知圆：，直线：（），则（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C. 直线与圆有两个交点
D. 圆与圆恰有三条公切线
【答案】ACD
【解析】对于A，直线 ，所以，
令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，当时，直线为：，
则圆心到直线的距离为，，
所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B错误；
对于C，因为直线过定点，所以，
所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确；
对于D，由圆的方程可得，，
所以圆心为，半径为，
此时两圆圆心距为，
所以两圆位置关系为外切，则两圆恰有三条公切线，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图,在平行六面体中,已知,，E为棱上一点，且，则（ ）
A.
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面
D. 直线与平面所成角为
【答案】ABD
【解析】不妨设则.
对于A，因,
故
，故，故A正确；
对于B，因，,则，
，
设直线与所成角为，则故B正确；
对于C，因
，
即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误；
对于D，因，,
因，，
则有因平面，故平面，
即平面的法向量可取为，又，
设直线与平面所成角为，
因，，，
则，因，故，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为，，共面，
所以，
即，
即，解得，
所以，
所以，
所以最小值为，
故答案为：.
13. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为______.
【答案】
【解析】设为坐标原点，由，
可得，且为锐角三角形，
所以费马点在线段上，如图所示，设，
则为顶角是的等腰三角形，可得，
又由，
则，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为，
所以，得到，又正三棱柱的高为2，
所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，
又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面的两个切点，设为，
则
，
又点是正三棱柱表面上的动点，
当与（或）重合时，的值最小，此时，
由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大，
连接，并延长交于，则，
此时，得到，
则的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知圆，过作直线圆交于点．
（1）求证：是定值；
（2）若点．求的值．
解：（1）若直线的斜率不存在，则，
则，所以；
若直线的斜率存在，设，
，消去，得，
，又，
所以.
综上，为定值.
（2）易知直线的斜率存在，
由（1）知，
所以，
得，
由，得，
所以.
16. 如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥．
（1）求证：四点共面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为平面平面，
所以．
因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直，
则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：
根据题意，得．
所以．
因为，
所以共面，
又有公共点，
所以四点共面．
（2）存在，理由如下：
，则，
设m=x1,y1,z1为平面的法向量，
则，即，令，
得平面的一个法向量为．
假设线段上存在点，
使得平面与平面所成角的余弦值为，
令，
则，
设n=x2,y2,z2为平面的法向量，
则，
即，
令，得平面一个法向量为．
设平面与平面所成角为，
则．
化简整理，得，
因为，所以，
所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时．
17. 已知为圆C：上任意一点，
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
解：（1）由题可知，
设,得直线，
该直线与圆有交点即可，所以
圆心到直线的距离要小于等于半径即可，
有解得
即
所以的最大值为，最小值为
（2）
显然表示点Mx,y到点的距离的平方，
即
已知Mx,y在圆上，所以
显然，
所以
所以
所以
所以
所以的最大值为，最小值为.
18. 我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切.
（1）直接写出的反射光线所在直线的方程；
（2）求圆的方程；
（3）点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程.
解：（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上，所以的反射光线所在直线的方程为.
（2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3，
则，
即，
整理得或，又点在第一象限，
即，因此，点，
所以圆的方程为.
（3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点，
由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧，
设，则，
连接，，
，
，
又，
整理得，解得，即点，
直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
解：（1）连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以,平面,平面，
所以平面；

（2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，，，则，
设平面的法向量，则，
令得，所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；

（3）由（2）知，，，，
，，，
，
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则
整理得，解得或
故当时，；当时，
则的长为或．