2024~2025学年广东省五校高二上学期第二次联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年广东省五校高二上学期第二次联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 圆与圆的公切条数为，9m后，水面的宽度为， 已知直线，等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
故选：C.
2. 椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）
A. 4B. 3C. 5D. 7
【答案】D
【解析】椭圆的长半轴长，依题意，，而，
所以.
故选：D
3. 已知三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】的中点坐标为，
所以边上的中线所在直线的方程为，
整理得.
故选：B
4. 若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3，
从而，圆的半径为 故所求圆的方程为
即
故选：C
5. 圆与圆的公切条数为（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】B
【解析】的圆心是，半径，
即，圆心为，半径，
，，
所以两圆相交，公切线有条.
故选：B
6. 如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（ ）

A. 6.4mB. 6mC. 3.2mD. 3m
【答案】A
【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
依题意可知，抛物线过点，
所以，
所以抛物线方程为，
所以当时，，
解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为.
故选：A

7. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为,经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下列问题：现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设知：平面的法向量，直线的方向向量，
且平面与直线相交于，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：A
8. 已知点为椭圆上任意一点，直线过圆的圆心且与圆交于两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，即，
则圆心，半径为.
椭圆方程，,
则，
则圆心为椭圆的焦点，
由题意的圆的直径，且
如图，连接，由题意知为中点，则，
可得
.
点为椭圆上任意一点，
则，，
由，
得.
故选：C
二、多选题（本题共3小题，题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分送对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知直线，（ ）
A. 当时，直线的倾斜角为
B. 当时，
C. 若，则或
D. 直线始终过定点
【答案】BD
【解析】对于A，当时，直线：，
故斜率，则倾斜角为120°，故A错误，
对于B，等价于，解得，故B正确，
对于C，若，且，故，故C错误，
对于D，：变形为：，
令且，解得，故恒过，故D正确，
故选：BD
10. 已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆C外
B. 直线l与圆C相离
C. 点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是
D. 将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为
【答案】BCD
【解析】因为圆C：，所以圆心，半径
对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错；
对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对；
对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对；
对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半，
如图所示
则圆C有且仅有3个点到直线的距离为2，故D对；
故选：BCD.
11. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ）
A.
B. 该三棱柱的体积为4
C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为
D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
【答案】ABD
【解析】如图建立空间直角坐标系，则.
对于A，，
因，
，
可得，
因，且两直线在平面内，则有平面，
又为棱上的动点，故，即A正确；
对于B，由题意，该三棱柱的体积为，故B正确；
对于C，如图，设经过，，三点的截面交于点，连接，
因，平面，平面，则平面，
又平面，故得，即截面为梯形.
因，，
设梯形的高为，则，解得.
则故C错误；
对于D，如图，因平面，平面，则，
又，，且两直线在平面内，故得平面，
故可取平面的法向量为，
又为棱上的动点，可设，则，
设直线与平面所成角为，则，
因，故当且仅当时，取得最小值为5，此时取得最大值为，
因，而正弦函数和正切函数在上均为增函数，
故此时取得最大值为，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 三条直线与相交于一点，则的值为______.
【答案】3
【解析】由，即三条直线交于，
代入，有.
故答案为：3
13. 已知空间中的三点，则点到直线的距离为______．
【答案】
【解析】设直线的单位方向向量为．
则，
，
，
，
点到直线的距离
故答案为：
14. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】由题意知，为正三角形，且，关于轴对称，
所以，且，
所以，，
由余弦定理得
，
由双曲线定义得，即，
所以.
故答案：.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程.
解：（1）设，则，，
由，得，
所以曲线的标准方程为.
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，
过点的直线若斜率不存在，直线方程为，满足与圆相切；
过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线距离，解得，
则方程为.
过点且与曲线相切的直线的方程为或.
16. 如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面和平面夹角的余弦值.
解：（1）取的中点，连接，
因为为棱的中点，
所以，且，
又，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，故，
设平面的法向量为m=x,y,z，则有，
可取，
因为轴垂直平面，
则可取平面的法向量为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
17. 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为，虚轴长为4.
（1）求的方程；
（2）直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.
解：（1）由题意可得，解得，
故；
（2）设，，
由，可得，
则有，
解得且，
，，
，
化简得，即，
解得或，
故直线的方程为或.
18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，
，
设平面的法向量为，
则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
19. 已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为.
①证明：直线l过定点；
②求面积的最大值.
解：（1）依题意，设，
则，
因为，所以，
则，解得，
因为圆上，
所以，则，即，
所以曲线的方程为.
（2）①依题意，设直线的方程为，，
联立，消去，得，
则，即，
所以，
则
，
则，
则，
整理得，解得或（此时直线过点，舍去），
所以直线过定点；
②由①得，，
则，
所以，
令，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，满足，
所以面积的最大值为.