2025高考数学考二轮专题复习-第二讲-复数-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学考二轮专题复习-第二讲-复数-专项训练【含答案】，共24页。
2024年高考新高考Ⅰ卷考查复数的运算，但是需要一些运算技巧，否则有些计算量。Ⅱ卷考查复数的模的计算，属于基础考查。复数考查应关注：（1）复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（2）复数的四则运算。预计2025年高考还是主要考查复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义、复数的模。
三：试题精讲
1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
高考真题练
1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（ ）
A．B．C．D．
4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
知识点总结
一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
三、实系数一元二次方程
1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么
（1）方程有两个不相等的实根；
（2）方程有两个相等的实根；
（3）方程有两个共轭虚根，
求解复数集上的方程的方法：
①设化归为实数方程来解决．
②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．
③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
（1）当时，方程的两个实根满足韦达定理
，。
（2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则
，
。
综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系
，
名校模拟练
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（ ）
A．B．3C．5D．9
2．（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024·河南·三模）已知关于的方程的一个根为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山东德州·三模）已知复数满足：，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·重庆·三模）已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河南郑州·三模）复数（且），若为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·四川遂宁·三模）若复数（其中，i为虚数单位）为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
10．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（ ）
A．B．1C．3D．
12．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
二、多选题
13．（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在直线上，则
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
14．（2024·河北衡水·三模）复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．对任意，点均在第一象限D．存在，使得点在第二象限
15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
16．（2024·福建福州·三模）已知复数满足：，，则（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是2
C．的最大值是3D．的最大值是4
三、填空题
17．（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则 ．
18．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 .
19．（2024·河南南阳·三模）若，则
20．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则
参考答案与详细解析
一：考情分析
二：2024高考命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查复数的运算，但是需要一些运算技巧，否则有些计算量。Ⅱ卷考查复数的模的计算，属于基础考查。复数考查应关注：（1）复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．（2）复数的四则运算。预计2025年高考还是主要考查复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义、复数的模。
三：试题精讲
1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
高考真题练
1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
知识点总结
一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
三、实系数一元二次方程
1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么
（1）方程有两个不相等的实根；
（2）方程有两个相等的实根；
（3）方程有两个共轭虚根，
求解复数集上的方程的方法：
①设化归为实数方程来解决．
②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形．
③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
（1）当时，方程的两个实根满足韦达定理
，。
（2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则
，
。
综上所述，无论方程的判别式的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的情况，即实系数一元二次方程（、、且）的两个根与系数满足关系
，
名校模拟练
一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数满足，且是复数的共轭复数，则的值是（ ）
A．B．3C．5D．9
【答案】C
【分析】先化简复数，再求出，最后得解.
【详解】，
，
.
故选：C
2．（2024·北京·三模）已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义得到，即可求出结果.
【详解】由，得到，
所以，其对应点为，
故选：C.
3．（2024·河南·三模）已知关于的方程的一个根为，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】解复数范围内方程可得及的值即可得解.
【详解】由可得，
故，，即.
故选：C.
4．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
【详解】.
故选：D
5．（2024·山东德州·三模）已知复数满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，计算即可.
【详解】由，可得，
所以，
故选：B.
6．（2024·重庆·三模）已知（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用复数相等求出，再由共轭复数概念即可求解.
【详解】因为，
所以，故，
所以复数的共轭复数为，
故选：A.
7．（2024·河南郑州·三模）复数（且），若为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出，根据为纯虚数即可求解.
【详解】，
因为为纯虚数，所以，
所以.
故选：A.
8．（2024·四川遂宁·三模）若复数（其中，i为虚数单位）为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】利用复数的除法求出，结合已知求出值即可得解.
【详解】依题意，，
由为纯虚数，得，解得，复数，
所以复数在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：B
9．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立.
【详解】若，则，则，故充分性成立；
若，设，则，，
则，或与不一定相等，则必要性不成立，
则“”是“”的充分非必要条件，
故选：A
10．（2024·山东潍坊·三模）设复数是纯虚数，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，将四个选项代入检验，得到答案.
【详解】由题意得，
A选项，当时，，不合题意，A错误；
B选项，当时，，不合要求，B错误；
C选项，当时，，故C正确；
D选项，当时，，D错误.
故选：C
11．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（ ）
A．B．1C．3D．
【答案】A
【分析】先利用乘法运算法则化简复数，然后化简得，即可求出其虚部.
【详解】因为，所以，所以，
所以，则的虚部为.
故选：A
12．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，则，
即，
故.
故选：B.
二、多选题
13．（2024·湖北荆州·三模）已知复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若为实数，则
C．若在复平面内对应的点在直线上，则
D．在复平面内对应的点不可能在第三象限
【答案】BD
【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断C、D.
【详解】复数的实部为，虚部为，
复数在复平面内对应的点的坐标为，
对于A：若为纯虚数，则，解得，故A错误；
对于B：若为实数，则，解得，则，故B正确；
对于C：若在复平面内对应的点在直线上，
所以，解得或，故C错误；
对于D：令，即，不等式组无解，
所以在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确.
故选：BD.
14．（2024·河北衡水·三模）复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．对任意，点均在第一象限D．存在，使得点在第二象限
【答案】AC
【分析】当时，代入计算可判断A、B；由判断的实部和虚部范围可判断C、D.
【详解】当时，，故，故选项正确；
，B选项错误；
当时，，，
故对任意，点均在第一象限，故C选项正确；
不存在，使得点在第二象限，D选项错误．
故选：AC．
15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.
【详解】对于A，由，得，则A错误.
对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.
对于C，设（，且），
则，所以，则C正确.
对于D，由，得.
设（，且），则，
，从而，则D正确.
故选：BCD
16．（2024·福建福州·三模）已知复数满足：，，则（ ）
A．的最小值是1B．的最大值是2
C．的最大值是3D．的最大值是4
【答案】ABC
【分析】对于A，设，依题意可得，可知复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上，根据复数几何意义可判断A；对于B，根据题意可得，表示复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，根据图形和可判断B；对于C，根据复数除法运算和复数模公式证明，结合图形求得，然后可判断C；对于D，根据复数减法的几何意义可知，结合图形转化为求的最值，根据点在椭圆上，利用二次函数性质求解可得.
【详解】设，
对于A，因为，所以，
所以，复数的对应点在以为圆心，1为半径的圆上，
由图可知，点到原点的最小距离为1，即的最小值是1，A正确；
对于B，因为，
所以，复数的对应点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上，
由椭圆几何性质可知，点到原点的最大距离为2，即的最大值为2，
又，所以的最大值是2，B正确；
对于C，因为，
所以
，
由图可知，，所以当时，取得最大值3，C正确；

对于D，因为表示的距离，
所以的最大值为，设，则，即，
所以，
由二次函数性质可知，当时，取得最大值，D错误.

故选：ABC
三、填空题
17．（2024·山西临汾·三模）已知复数满足：，则 ．
【答案】/
【分析】利用复数的乘法运算直接求得，进而求得即可.
【详解】由，得，所以.
故答案为：.
18．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为 .
【答案】
【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.
【详解】，
因为是纯虚数，
所以，得.
故答案为：
19．（2024·河南南阳·三模）若，则
【答案】/
【分析】由复数的乘除法运算法则及模长计算公式求解即可.
【详解】，
所以，
故答案为：.
20．（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ．
【答案】
【分析】设，结合复数的运算以及共轭复数求，并结合复数的几何意义取舍.
【详解】设，则，
因为，则，
解得或，
又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知，可知，
所以.
故答案为：
命题解读
考向
考查统计
高考对复数的考查，重点是复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义等，难度较低.
共轭复数、复数的除法运算
2022·新高考Ⅰ卷，2
2023·新高考Ⅰ卷，2
2024新高考Ⅰ卷，2
复数的乘法运算
2022·新高考Ⅱ卷，2
复数的几何意义
2023新高考Ⅱ卷，1
复数的模
2024·新高考Ⅱ卷，1
命题解读
考向
考查统计
高考对复数的考查，重点是复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义等，难度较低.
共轭复数、复数的除法运算
2022·新高考Ⅰ卷，2
2023·新高考Ⅰ卷，2
2024新高考Ⅰ卷，2
复数的乘法运算
2022·新高考Ⅱ卷，2
复数的几何意义
2023新高考Ⅱ卷，1
复数的模
2024·新高考Ⅱ卷，1