热点04 函数的图象及零点问题（ 6题型 高分技法 限时提升练）-2025年高考数学 热点 重点 难点 专练（天津专用）

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题型1 根据解析式识别图象
1．（24-25高一上·天津河北·期末）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、求含sinx的函数的奇偶性
【分析】分析函数的奇偶性，及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的，，故函数的定义域为，
且，即函数为奇函数，排除AB选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：D.
2．（24-25高一上·天津·期末）函数的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】利用函数奇偶性排除B，D，先证明特殊点在在上最靠近原点的零点的左侧，再利用特殊点处的函数值排除C即可.
【详解】因为，
所以，
所以
，故，
则是奇函数，故B，D错误，
令，
令，所以函数化为，
令，由反比例函数性质得在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，且，
则gx>0在上恒成立，故在上不存在零点，
而在上的零点只能由决定，
又，由余弦函数性质得是在上最靠近原点的零点，
即是在上最靠近原点的零点，
而一定在左侧，且，故A正确，C错误.
故选：A
3．（24-25高三上·天津南开·期末）函数的图象大致为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状
【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项.
【详解】设，则，
∴函数为奇函数，选项B错误.
当时，，
由得，，
∴，∴，CD错误，选项A符合要求.
故选：A.
4．（24-25高一上·天津津南·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状
【分析】根据解析式求定义域，奇偶性定义判断的奇偶性，结合时函数的符号，应用排除法即可得答案.
【详解】由解析式知，函数定义域为，且，
所以为偶函数，排除A、C，
当，有，故，排除B.
故选：D
5．（24-25高三上·天津·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】根据函数解析式可判断为奇函数，再由函数值的符号可得结论.
【详解】易知函数的定义域为，
且
，
可知为奇函数，图象应关于原点成中心对称，可排除AD；
显然，
不妨取，可排除C.
故选：B
题型2 根据图象识别解析式
1．（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数图象选择解析式
【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D.
【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，
对于A，，为偶函数，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，为奇函数，当时，，
因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；
对于D，当时，，，所以时，，
单调递增，当时，，单调递减，故D错误，
故选：C.
2．（2024·天津·二模）已知函数y=fx的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、指数函数图像应用、根据函数图象选择解析式
【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【详解】对于A， 在处无意义，故A错误；
对于B：的定义域为，故B错误；
对于C：的定义域为，
且，则为偶函数，故C错误；
对于D，满足图中要求，故D正确.
故选：D.
3．（2024·天津河东·一模）如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、二倍角的正弦公式、根据函数图象选择解析式
【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据有界性可排除C，根据4处的函数值不超过5，可判断B.
【详解】由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数，
对于A，，故函数为偶函数，不符合，
对于B, ，
根据图象可知，4处的函数值不超过5，故B不符合，
对于C，由于，显然不符合，
故选：D
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数图象选择解析式
【分析】根据奇偶性判断AB，由，在区间0,1上，，判断C，由奇偶性结合在区间0,1上，，判断D.
【详解】对于A,，其定义域为，有，
则函数为奇函数，不符合题意，故A错误；
对于B，，其定义域为，
有，则函数为奇函数，不符合题意，故B错误；
对于C，，在区间0,1上，，不符合题意，故C错误.
对于D，，则为偶函数，
且在区间0,1上，，符合题意，故D正确.
故选：D.
5．（24-25高三上·天津武清·期中）函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含csx的函数的奇偶性、根据函数图象选择解析式
【分析】首先判断函数的奇偶性，再结合三角函数的奇偶性，即可判断选项.
【详解】设，，所以是奇函数，
为奇函数，为偶函数，
函数的图象关于轴对称，所以是偶函数，
是奇函数偶函数奇函数，故排除B，
是奇函数偶函数奇函数，故排除D，
在处无意义，所以不过原点，故排除C，
故选：A
题型3判断函数零点所在区间
1．（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断零点所在的区间
【分析】根据函数零点存在性定理判断即可
【详解】函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
2．（2024·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断零点所在的区间、由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小
【分析】由题可得在0,+∞上单调递增，后由零点存在性定理结合幂函数，指数函数单调性可判断选项正误.
【详解】注意到函数图象在0,+∞上连续不间断，因为在0,+∞上均单调递增，则在0,+∞上单调递增.
对于A，.因函数在0,+∞上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误；
对于B，因为在0,+∞上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确；
对于CD，由于在0,+∞上单调递增，，可知C､D都是错误的.
故选：B.
3．（2024·江西新余·模拟预测）关于的方程：的实根分布在区间（ ）内.
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断零点所在的区间、利用导数求函数的单调区间（不含参）
【分析】根据导数以及零点存在性定理来求得正确答案.
【详解】令，
当时，，此时无零点，排除A.
当时，，此时无零点，排除D.
当时，，而，
所以单调递减，
而，故.
又，且，故，所以.
故选：B
4．（2023·河北·模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】判断零点所在的区间
【分析】利用零点存在性定理计算即可.
【详解】由题知在上单调递增，
∵，，，
又，∴，即在上存在使得.
故选：B.
题型4 确定零点的个数
1．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，然后向左平移一个单位长度，得到函数 y=gx . 当 时，函数 y=gx 的图象与直线 交点个数是 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、求图象变化前（后）的解析式、求函数零点或方程根的个数
【分析】由图象变换写出的解析式，然后在时解方程可得．
【详解】由题意，
时，，注意，由得，或，即或，
因此的图象与直线有两个交点，
故选：B
2．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若，则零点的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【知识点】对数函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】画出函数的图象，令，则求在零点的个数，再令得，即求与的图象在交点的个数，求出的范围结合图象可得答案.
【详解】函数的图象如下，
令，则求在零点的个数，
由得，所以，
即方程有两个不相等正根，
令，可得，不成立，
所以，即求与的图象在交点的个数，
因为，所以，即，
解得，且，可得与的图象有2个交点，

当，且时，
与有8个交点，则零点的个数为8.

故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数的图象，令，则求在零点的个数.
3．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】先利用零点和根的关系得到或，然后再利用函数的零点和函数交点的关系求零点的个数即可.
【详解】函数的零点，
即方程和的根，函数的图象，如下图所示：
由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点．
故选：C．
4．（24-25高三上·天津河西·期末）若函数在上恰有3个零点，则符合条件的的个数为 .
【答案】5
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】该函数零点可以转化为一个二次函数零点与正弦型函数零点的个数之和，再对、、分类讨论，即可得取其取值范围.
【详解】令，则或，
由，
当时，在上没有零点，
则在上应有3个零点，
因为，所以，即，
与联立得，因为，所以m的值依次为9，10；
当时，在上有1个零点，
而在上有3个零点，不满足题意；
当时，在上有2个零点，
故在上应有1个零点，
因为，所以该零点与的零点不相同，
所以，即，与联立得，
因为，所以的取值依次为2，3，4，
综上得符合条件的的个数是5．
故答案是：5．
5．（24-25高三上·江西宜春·期末）函数的零点个数为 .
【答案】2
【知识点】函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数
【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】函数的定义域为，由得，
函数的零点即方程的根，
作函数和的图象，如图，
由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点．
故答案为：.
题型5 根据零点个数求参数
1．（2022·天津宝坻·二模）已知函数若函数有个零点，函数有个零点，且，则非零实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】命题等价于的图象与和的交点数之和为，然后结合图象判断交点数目，即可得到答案.
【详解】命题等价于与和的交点数之和为，作出的图象如下：
可以看出，对任意的非零实数，fx的图象和的交点数满足：
若，则；若，则；若，则.
而条件即为，此即，且或，从而的范围是或.
综上，所求取值范围是．
故选：C.
2．（2024·天津和平·二模）已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】,,．
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】方程可化为，根据一次函数与二次函数的性质，分别讨论函数与函数，在同一坐标系内作出它们的图象并观察交点的个数，建立关于的不等式，进而求出实数的取值范围．
【详解】方程，即，
结合，得，原方程可化为，
①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意；
②，记，
的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值，
因为在上是减函数，在上是增函数，
所以的最小值为，
结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；
③，则，
在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为，
的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值，
当时，即时，函数的最小值，
观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；
当时，函数的最小值，
方程即的根的判别式△，
且方程即的根的判别式△，
结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意．
综上所述，或，即实数的取值范围是,,．
故答案为：,,．
【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
3．（2023·天津和平·三模）已知函数，，且有，若关于的方程有8个相异实根，则实数的取值范围为 ．
【答案】．
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】由题意设，，根据对称轴、单调性等知识画出图象，由题意当且仅当，是关于的方程的两个根，，进一步换元分离参数，并结合对勾函数的性质即可得解.
【详解】由题意设，，
由此可知，的对称轴均为，
且当时，单调递减，单调递增，
当时，单调递增，单调递减，
且，
由此可以画出这两函数的大致图像如图所示：
所以，
所以直线与函数至多有4个不同的交点，
关于的方程至多有2个不同的根，
由题意若关于的方程有8个相异实根，
则当且仅当两个关于的方程，共有8个不同的根，
其中，
，是关于ℎx的方程的两个根，
令，则关于的方程有两个不同的根，，
即有两个不同的根，，
设，由对勾函数性质得，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，，
所以有两个不同的根，，
当且仅当，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是分析出直线与函数至多有4个不同的交点，关于ℎx的方程的至多有2个不同的根，由此可将题目等价转换为有两个不同的根，，从而即可顺利得解.
4．（2024·天津·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】是函数的一个零点，再分段去绝对值符号，探讨零点个数即得.
【详解】显然是函数的一个零点，
当时，，此时函数无零点；
当时，，由，得，
因为函数有3个零点，必有，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
5．（2024·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】对不同情况下的分类，然后分别讨论相应的零点分布，即可得到的取值范围.
【详解】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，
即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.
当时，只要，就有，
故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，有，
所以在上没有零点.
而若，则只可能，所以在上至多可能有1个零点.
故在R上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件；
当时，解可得到，且由知，
从而确为在上的一个零点.
再解方程，即，
可得两个不同的实数根.
而，.
故确为在上的一个零点，
而当且仅当时，另一根是在上的一个零点.
条件为在区间内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：或.
解得；
当时，验证知恰有两个零点和，满足条件.
综上，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于需要分较多的情况讨论，不重不漏、细致讨论方可得解.
题型6 零点的代数和
1．（2024·山东威海·一模）已知定义在上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】C
【知识点】求过一点的切线方程、求零点的和
【分析】画出、在区间上的图象，根据对称性、周期性等知识来求得正确答案.
【详解】依题意，是定义在R上的偶函数，图象关于直线对称，
，所以，
所以是周期为的周期函数，所以的图象关于直线对称.
函数的图象也关于直线对称.
当时，.
当时，，，
当时，，，
，所以直线与曲线y=gx相切于点2,1.
画出、在区间上的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个公共点，
所以所有交点的横坐标之和为.
故选：C
2．（2024·四川自贡·一模）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（ ）
A．16B．32C．36D．48
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、正弦函数对称性的其他应用、求零点的和
【分析】先判断的对称性、周期性，然后由gx=0进行转化，结合图象以及对称性求得正确答案.
【详解】依题意，是定义在R上的奇函数，图象关于原点对称，
由于f1+x=f1−x，所以的图象关于对称，
，
所以是周期为的周期函数.
令，得，
函数的图象关于对称，y=fx的图象也关于点对称，
画出函数y=fx和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，且交点关于对称，
所以所有零点和为.
故选：A
3．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知函数，，则 ，若方程的所有实根之和为4，则实数m的取值范围是 .
【答案】 1
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数零点的个数求参数范围、求零点的和
【分析】（1）先求得的值再利用分段函数解析式即可求得的值；
（2）按实数m分类讨论利用函数图像的交点个数去判断方程根的个数，进而求得实数m的取值范围
【详解】，则
令，则的实根个数即
函数与函数图像交点个数
当时，函数与函数图像有1个交点，且交点横坐标大于1，
即，函数与函数有2个交点，
则方程有两根，且两根和为2，不符合题意；
当时，函数与函数图像有2个交点，
即或，则或或，
则方程有3个根，且3根和为3，不符合题意；
当时，函数与函数图像有2个交点，
即或，
函数与函数无交点，不符合题意；
函数与函数有4个交点，且4个交点横坐标之和为4，
则方程有4个根，且4根和为4，符合题意
综上，实数m的取值范围是
故答案为：1；
4．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ．
【答案】
【知识点】判断或证明函数的对称性、对数函数图象的应用、求零点的和
【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.
【详解】函数的定义域为，
由，得，令函数，
，则函数的图象关于直线对称，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为，
观察图象得，所以的零点之和为.
故答案为：
5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义表示不超过x的最大整数，．例如：，则方程的所有实根之和是 ．
【答案】
【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、求零点的和
【分析】将问题转化为函数和的图象的交点，结合对称性即可求解.
【详解】对于，显然不是方程的解，可化为，
作出函数和的大致图象，
考察函数和的图象的交点，
除了外，其余点关于点对称，从而和为零，故总和为.
故答案为：
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数的图像如图所示，则可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】根据函数图象选择解析式
【分析】本题使用排除法，通过赋值法可排除，项，通过对指数函数与幂函数增长速度的比较，可以排除项，从而得出正确选项.
【详解】对于，，与题图不符，故错误；
对于，当时，因为指数函数的增长速度远大于幂函数的增长速度，所以，与题图不符，故错误；
对于，，与题图不符，故错误；
通过排除法，所以正确.
故选：.
2．（2024·广东中山·模拟预测）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1个B．4个C．2个D．0个
【答案】D
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】根据函数零点意义得，变形为，并探讨和的最值即可得解.
【详解】当时，由得即，
当时，恒成立，而恒成立，
因此不成立，
所以函数在区间上的零点个数为0.
故选：D.
3．（2024·广东珠海·一模）已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】将问题转化为 与函数 的图象没有交点，利用数形结合法求解.
【详解】设 ，的图象如图所示，
问题转化为与函数 的图象没有交点，
所以或,
解得或,
故选：A.
4．（2024·安徽·一模）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A．B．28C．D．14
【答案】A
【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.
【详解】先作出的大致图象，如下

令，则，
根据的图象可知：要满足题意必须有两个不等根，
且有两个整数根，有三个整数根，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数相切时符合题意，
因为，当且仅当时取得等号，
又，易知其定义域内单调递减，
即，此时有两个整数根或，
而要满足有三个整数根，结合图象知必有一根小于2，
显然只有符合题意，当时有，则，
解方程得的另一个正根为，
又，
此时五个整数根依次是，
显然最大的根和最小的根和为.
故选：A
5．（23-24高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】函数图像的识别
【分析】代入特殊点并对区间上的正负进行讨论即可得到结果.
【详解】函数的定义域为，当时，，
当时，，故选项C错误，
当时，，当时，，
故选项A错误，
且，，
因为，所以，故选项D错误.
只有B中图象符合题意,
故选：B
6．（2024·广东茂名·二模）若为上的偶函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】A
【知识点】求函数的零点
【分析】数形结合，函数与在区间上的交点横坐标即为的零点，根据对称性即可求零点之和.
【详解】若为上的偶函数，则，且，
则的周期，
当时，，
则当时，，即可画出函数的图象；
函数周期是2，最大值为3，把函数在下方图象翻折到轴上方。
y=fx与在区间上一共有10个交点，
且这10个交点的横坐标关于直线对称，
所以在区间的的有零点的和是20.
故选：A
7．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求函数零点或方程根的个数
【分析】先求出的解析式，再分段解方程即可得零点.
【详解】当即时，
，
当即时，，
所以
当时，令，即或，解得：或（舍）或此时有2个零点；
当时，令，可得或，所以或都满足，此时有2个零点，
综上所述函数的零点个数为4，
故选：C.
二、填空题
8．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为 .
【答案】3
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】先将的零点个数转化为和的交点个数，然后画图确定交点个数.
【详解】令,则,
令,
则与ℎx的交点个数即为的零点个数,
当时,,
又,
所以是周期为1的函数,
ℎx在R上单调递减,且,
所以可作出与ℎx的图象如图,
所以与ℎx有3个交点，故的零点个数为3,
故答案为：3.
9．（2024·重庆·模拟预测）若，则关于的方程的解的个数是 ．
【答案】3
【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用
【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出和的图象，找出两函数图象交点个数即可.
【详解】由，知，，
因为，所以，
在同一坐标系下分别画出和的图象，由图象可得和共有3个交点，
即方程有3个根.
故答案为：3.
10．（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，设．
给出下列四个结论：
①当时，不存在最小值；
②当时，在为增函数；
③当时，存在实数b，使得有三个零点；
④当时，存在实数b，使得有三个零点．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【知识点】分段函数的值域或最值、分段函数的单调性、求函数零点或方程根的个数
【分析】结合一次函数与二次函数的性质，利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断.
【详解】对于①：当时，，
易知函数在上的最小值为0，
函数，在内单调递增，即，
所以时，函数的最小值为0，故①错误；
对于②：当时，函数，在内单调递减，在0,m内单调递增，
函数的对称轴为，所以在内单调递增，
又，即，解得，
综上可知，当时，在0,+∞为增函数，故②正确；
对于③：当时，
函数，则，即，存在一个零点；
函数，在内单调递增，与存在一个交点，
又，即，解得或，
于是时，，如下图所示：
综上可知，当时，存在实数b，使得至多有两个零点，故③错误；
④当时，
函数，在内单调递减，在0,m内单调递增，
则与存在两个个交点，
由③知，与存在一个交点，，
又，即，解得或，
于是时，如下图所示：
综上可知，当时，存在实数b，使得有三个零点.
故答案为：②④.
11．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求零点的和
【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定，，，变换，根据函数的单调性计算最值即可.
【详解】画出函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的解，，，，且，
由时，，则与的中点横坐标为，即：，
当时，由于在上是减函数，在上是增函数，
又因为，，则，有，
，又，，
在上递增，故取值范围是．
故答案为：.
12．（2023·广东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则 .
【答案】24
【知识点】函数的周期性的定义与求解、求零点的和、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】由题设可得的周期为8，且关于对称的奇函数，结合区间单调性判断上单调情况，根据与有4个交点，及函数的对称性求根的和.
【详解】由为偶函数，则，故，
又是定义在上的奇函数，则，
所以，故，即有，
综上，的周期为8，且关于对称的奇函数，
由在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，
所以在的大致草图如下：
要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于对称，则.
故答案为：24
13．（2024·上海杨浦·一模）已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、研究对数函数的单调性、由幂函数的单调性求参数
【分析】由题意可知有两根，通过方程求解即可.
【详解】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增，
所以有一解，解得：，
有一解，解得：，
所以，
故答案为：.
14．（2024·四川乐山·三模）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】辅助角公式、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】先利用三角函数恒等变换公式把函数化成，可求出的系列正根，根据函数在上根的个数，可确定的取值范围.
【详解】因为，
由（）.
令可得.
因为在上有且仅有3个零点，所以，
故的取值范围是：.
故答案为：
15．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a分类讨论并结合函数图象即可求解.
【详解】①当时，，由于时，x>0时，
此时只有一个零点，所以不符合题意；
②当时，，函数的大概图象如图所示，
，
由于时，，时，，当且仅当，即时取等号，
此时在0,+∞上有，要使有两个零点，只需，即；
③当时，，函数的大概图象如图所示，
，
由于函数在0,+∞上是增函数，故与x轴有且只有一个交点，
要使有两个零点，只需函数有一个零点即可，
当时，恰好只有一个零点.
综上所述，实数a的取值范围是.
故答案为：.
三年考情分析
2025考向预测
函数图象：
2022年，第3题，函数图象识别
2023年，第4题，根据图象选择解析式
函数零点：
2022年，第15题，根据零点个数求参数
2023年，第15题，根据零点个数求参数
2024年，第15题，根据零点个数求参数
函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等。函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大。
①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）
②单调性法（；；，；通过求导判断单调性）
③奇偶性法
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
④极限（左右极限）（；；；；）
⑤零点法
⑥极大值极小值法
①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）
②单调性法（；；，；通过求导判断单调性）
③奇偶性法
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
④极限（左右极限）（；；；；）
⑤零点法
⑥极大值极小值法
（1）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
（2）通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断。
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、利用零点存在定理+单调性，证明零点唯一
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）（最常用方法）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数。
（最常用方法）两个函数图象：将函数拆成一个函数和一个参数的差，根据，通过画出的图像和移动，使得两函数图象交点的个数符合题意，从而求出参数。
（最常用方法）两个函数图象：将函数拆成一个函数和一个参数的差，根据，通过画出的图像和移动，使得两函数图象交点的个数符合题意，从而两个函数交点的横坐标就是零点，再根据对称性，周期性等性质求出代数和。